Номер 4, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Какие преобразования уравнения являются равносильными?

Равносильными (или эквивалентными) называются такие преобразования, которые заменяют данное уравнение другим уравнением, имеющим в точности то же самое множество корней. Если уравнение не имеет корней, то равносильное ему уравнение также не должно иметь корней.

Цель равносильных преобразований — упростить уравнение для его последующего решения. Рассмотрим основные виды таких преобразований.

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.

Любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую, изменив при этом его знак на противоположный. Это преобразование является равносильным. Фактически, это равносильно прибавлению (или вычитанию) одного и того же выражения к обеим частям уравнения.

Пример: Уравнение $5x - 7 = 2x + 8$ равносильно уравнению $5x - 2x = 8 + 7$.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на ненулевое число.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число $c$, если $c \neq 0$. Это преобразование не изменяет множество корней уравнения.

Пример: Уравнение $12x = 48$ равносильно уравнению $x = 4$, так как мы разделили обе части на $12$. Уравнение $\frac{1}{3}x - 1 = 5$ равносильно уравнению $x - 3 = 15$, так как мы умножили обе части на $3$.

3. Тождественные преобразования в частях уравнения.

Можно выполнять тождественные преобразования (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения и т. д.) в левой или правой части уравнения, если эти преобразования не изменяют Область допустимых значений (ОДЗ) переменной.

Пример: Преобразование уравнения $(x-3)^2 = 2x$ в уравнение $x^2 - 6x + 9 = 2x$ является равносильным, так как ОДЗ ($x \in \mathbb{R}$) не изменилась.

Важно: некоторые тождественные преобразования выражений могут сужать или расширять ОДЗ и, следовательно, не быть равносильными для уравнения. Например, замена $\log_a(f(x) \cdot g(x))$ на $\log_a f(x) + \log_a g(x)$ сужает ОДЗ, а обратная замена — расширяет. Аналогично, преобразование $\sqrt{x^2} = 5$ в $x = 5$ не является равносильным, так как теряется корень $x=-5$. Правильное равносильное преобразование: $|x|=5$.

4. Замена части уравнения на тождественно равное ей выражение.

Если в уравнении некоторую его часть (выражение) заменить на тождественно равное ему выражение, то получится равносильное уравнение. Это является обобщением предыдущих пунктов.

Существуют также преобразования, которые могут приводить к потере или приобретению корней, и поэтому они не всегда являются равносильными. К ним относятся:

• Умножение или деление обеих частей на выражение, содержащее переменную (которое может обращаться в ноль).
• Возведение обеих частей уравнения в четную степень.

Применение таких преобразований требует дополнительной проверки: либо проверки найденных корней подстановкой в исходное уравнение, либо анализа ОДЗ и условий, при которых преобразование является равносильным (например, неотрицательность обеих частей перед возведением в квадрат).

Ответ: Равносильными являются преобразования, которые не меняют множество корней уравнения. Основные из них:
1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
3. Тождественные преобразования выражений в частях уравнения, не изменяющие его область допустимых значений (ОДЗ).