Номер 4, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Запишите формулу разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители. Примените эту формулу для разложения на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + 2$.

Формула разложения квадратного трёхчлена на линейные множители

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители необходимо найти его корни, решив соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — это корни уравнения (что возможно при неотрицательном дискриминанте $D = b^2 - 4ac \ge 0$), то формула разложения имеет следующий вид: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Ответ: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Разложение на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + 2$

Рассмотрим трёхчлен $2x^2 - 5x + 2$. В нём коэффициенты равны: $a=2$, $b=-5$, $c=2$. Чтобы разложить его на множители, сначала найдём корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле корней квадратного уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим коэффициент $a=2$ и найденные корни $x_1=2$ и $x_2=\frac{1}{2}$ в формулу разложения: $2x^2 - 5x + 2 = a(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - 2)(x - \frac{1}{2})$.

Для получения более удобного вида с целыми коэффициентами в множителях внесём множитель $2$ во вторую скобку: $2(x - 2)(x - \frac{1}{2}) = (x - 2)(2 \cdot x - 2 \cdot \frac{1}{2}) = (x - 2)(2x - 1)$.

Ответ: $2x^2 - 5x + 2 = (x - 2)(2x - 1)$.