Номер 1, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте теорему Виета.

Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Формулировка теоремы зависит от степени многочлена.

Это наиболее известный и часто применяемый случай теоремы.

Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, если оно имеет корни $x_1$ и $x_2$, то справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней равна второму коэффициенту ($p$), взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
• Произведение корней равно свободному члену ($q$): $x_1 \cdot x_2 = q$.

Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$), имеющего корни $x_1$ и $x_2$, формулы Виета выглядят так:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Также важна обратная теорема Виета: если существуют два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются равенства $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Ответ: Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ верны равенства: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.

Теорема Виета обобщается на многочлены любой степени. Пусть дан многочлен n-й степени с действительными или комплексными коэффициентами:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, где $a_n \neq 0$.

Если $x_1, x_2, \dots, x_n$ — корни этого многочлена (с учётом их кратности), то они связаны с коэффициентами $a_0, a_1, \dots, a_n$ следующими формулами (формулы Виета):

• Сумма всех корней:
  $\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$
• Сумма всех попарных произведений корней:
  $\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j = x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$
• Сумма всех произведений корней по три:
  $\sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k = -\frac{a_{n-3}}{a_n}$
• ... и так далее.
• Произведение всех корней:
  $x_1x_2\dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$

В общем виде, элементарная симметрическая функция от $k$ корней (сумма всех возможных произведений из $k$ различных корней) выражается через коэффициенты как:

$\sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$

Ответ: Для многочлена $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$ с корнями $x_1, \dots, x_n$ сумма произведений корней, взятых по $k$, равна $(-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$. В частности, сумма всех корней равна $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$, а их произведение равно $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$.