Номер 2, страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 1 - номер 2, страница 160.

Условие.

2. Опишите алгоритм решения рационального уравнения.

Решение 1.

Решение 6.

Рациональное уравнение — это уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями. Алгоритм его решения сводится к нескольким последовательным шагам.

Рассмотрим общий вид рационального уравнения, сведенного к нулю:

$\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$

где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.

Алгоритм решения:

1. Приведение уравнения к стандартному виду. Если уравнение имеет вид, отличный от $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, необходимо перенести все его члены в одну сторону (обычно в левую) и привести их к общему знаменателю. В результате должно получиться уравнение, в котором дробь равна нулю.

   Пример: Уравнение $\frac{x-1}{x+2} = \frac{3}{x}$

   $\frac{x-1}{x+2} - \frac{3}{x} = 0$

   $\frac{x(x-1) - 3(x+2)}{x(x+2)} = 0$

   $\frac{x^2-x-3x-6}{x(x+2)} = 0$

   $\frac{x^2-4x-6}{x(x+2)} = 0$

2. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Поэтому необходимо найти все значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их. Это условие записывается как $Q(x) \neq 0$.

   Для нашего примера:

   $x(x+2) \neq 0$

   Это означает, что $x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

3. Решение уравнения $P(x)=0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Поэтому приравниваем числитель к нулю и решаем полученное уравнение (которое, как правило, является целым: линейным, квадратным и т.д.).

   Для нашего примера:

   $x^2-4x-6 = 0$

   Это квадратное уравнение. Решаем его через дискриминант:

   $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40$

   $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$

   Получаем два корня: $x_1 = 2 + \sqrt{10}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{10}$.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ. Необходимо проверить, не совпадает ли какой-либо из найденных корней с теми значениями, которые были исключены в шаге 2. Корни, не удовлетворяющие ОДЗ, являются посторонними и должны быть отброшены.

   Для нашего примера:

   ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

   Корень $x_1 = 2 + \sqrt{10}$ не равен 0 и не равен -2.

   Корень $x_2 = 2 - \sqrt{10}$ (приблизительно $2 - 3.16 = -1.16$) не равен 0 и не равен -2.

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

5. Запись ответа. В ответ записываются все корни, которые прошли проверку.

   Для нашего примера: $x = 2 + \sqrt{10}, x = 2 - \sqrt{10}$.

Таким образом, решение рационального уравнения $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ эквивалентно решению системы:

$\begin{cases} P(x) = 0, \\ Q(x) \neq 0. \end{cases}$

Ответ: Алгоритм решения рационального уравнения заключается в выполнении следующих шагов: 1) привести уравнение к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$; 2) найти область допустимых значений (ОДЗ), решив неравенство $Q(x) \neq 0$; 3) решить уравнение $P(x) = 0$; 4) исключить из найденных корней те, которые не входят в ОДЗ; 5) записать оставшиеся корни в ответ.