Номер 32.25, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.25, страница 182.

Условие.

32.25 a) $\frac{x^2 - 5}{x^2 - 3x + 2} = \frac{x+3}{x-1} + \frac{2x+2}{x-2}$

б) $\frac{2x^2 + 9x}{x^2 - x - 6} + \frac{3x+2}{x+2} = \frac{2x+3}{x-3}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное уравнение:

$\frac{x^2 - 5}{x^2 - 3x + 2} = \frac{x + 3}{x - 1} + \frac{2x + 2}{x - 2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

Разложим знаменатель $x^2 - 3x + 2$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Знаменатели равны нулю при $x - 1 = 0 \implies x = 1$ и $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 2$.

2. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю.

Общий знаменатель для всех дробей в уравнении — $(x - 1)(x - 2)$. Перепишем уравнение:

$\frac{x^2 - 5}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{(x + 3)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} + \frac{(2x + 2)(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}$

Поскольку знаменатели равны, мы можем приравнять числители (с учетом ОДЗ):

$x^2 - 5 = (x + 3)(x - 2) + (2x + 2)(x - 1)$

3. Раскроем скобки и решим полученное уравнение.

$x^2 - 5 = (x^2 - 2x + 3x - 6) + (2x^2 - 2x + 2x - 2)$

$x^2 - 5 = (x^2 + x - 6) + (2x^2 - 2)$

$x^2 - 5 = 3x^2 + x - 8$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 - x^2 + x - 8 + 5 = 0$

$2x^2 + x - 3 = 0$

4. Найдем корни квадратного уравнения.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x_1 = -1.5$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 2$).

Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=1$ знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: $x = -1.5$.

б)

Исходное уравнение:

$\frac{2x^2 + 9x}{x^2 - x - 6} + \frac{3x + 2}{x + 2} = \frac{2x + 3}{x - 3}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Разложим знаменатель $x^2 - x - 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.

Знаменатели равны нулю при $x + 2 = 0 \implies x = -2$ и $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 3$.

2. Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x - 3)(x + 2)$.

$\frac{2x^2 + 9x}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{(3x + 2)(x - 3)}{(x + 2)(x - 3)} = \frac{(2x + 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)}$

Приравняем числители (с учетом ОДЗ):

$2x^2 + 9x + (3x + 2)(x - 3) = (2x + 3)(x + 2)$

3. Раскроем скобки и решим полученное уравнение.

$2x^2 + 9x + (3x^2 - 9x + 2x - 6) = (2x^2 + 4x + 3x + 6)$

$2x^2 + 9x + 3x^2 - 7x - 6 = 2x^2 + 7x + 6$

$5x^2 + 2x - 6 = 2x^2 + 7x + 6$

Перенесем все члены в одну сторону:

$5x^2 - 2x^2 + 2x - 7x - 6 - 6 = 0$

$3x^2 - 5x - 12 = 0$

4. Найдем корни квадратного уравнения.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169$.

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 13}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 13}{6} = \frac{18}{6} = 3$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x_1 = -\frac{4}{3}$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($x \neq -2, x \neq 3$).

Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=3$ знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: $x = -\frac{4}{3}$.