Номер 32.32, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.32, страница 183.

Условие.

32.32 a) $x_1 = 3 + \sqrt{2}$, $x_2 = 3 - \sqrt{2}$;

б) $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$;

в) $x_1 = 2 + \sqrt{5}$, $x_2 = 2 - \sqrt{5}$;

г) $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{3}}{7}$, $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{3}}{7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1 = 3 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{2}$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ справедливы соотношения: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 3 + 3 + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 6$.

Таким образом, $-p = 6$, откуда $p = -6$.

2. Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$x_1 \cdot x_2 = (3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$.

Таким образом, $q = 7$.

3. Подставим найденные коэффициенты в уравнение $x^2 + px + q = 0$:

$x^2 - 6x + 7 = 0$.

Ответ: $x^2 - 6x + 7 = 0$.

б)

Даны корни $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. Воспользуемся теоремой Виета.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{1^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

3. Составим уравнение, используя общую формулу $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (1)x + (-1) = 0$.

$x^2 - x - 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - x - 1 = 0$.

в)

Даны корни $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{5}$. Воспользуемся теоремой Виета.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 2 + 2 = 4$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$.

3. Составим уравнение:

$x^2 - (4)x + (-1) = 0$.

$x^2 - 4x - 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - 4x - 1 = 0$.

г)

Даны корни $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{3}}{7}$ и $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{3}}{7}$. Воспользуемся теоремой Виета.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \frac{-4 - \sqrt{3}}{7} + \frac{-4 + \sqrt{3}}{7} = \frac{-4 - \sqrt{3} - 4 + \sqrt{3}}{7} = -\frac{8}{7}$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-4 - \sqrt{3}}{7}\right)\left(\frac{-4 + \sqrt{3}}{7}\right) = \frac{(-4)^2 - (\sqrt{3})^2}{7^2} = \frac{16 - 3}{49} = \frac{13}{49}$.

3. Составим приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - \left(-\frac{8}{7}\right)x + \frac{13}{49} = 0$.

$x^2 + \frac{8}{7}x + \frac{13}{49} = 0$.

Для получения уравнения с целыми коэффициентами, умножим обе части на 49:

$49x^2 + 49 \cdot \frac{8}{7}x + 49 \cdot \frac{13}{49} = 0$.

$49x^2 + 56x + 13 = 0$.

Ответ: $49x^2 + 56x + 13 = 0$.