Номер 32.33, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.33, страница 183.

Условие.

Разложите выражение на множители:

32.33 a) $x + 6\sqrt{x} + 8;$

б) $x - 7\sqrt{x} - 18;$

в) $x - 12\sqrt{x} + 35;$

г) $x + 3\sqrt{x} - 40.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x + 6\sqrt{x} + 8$
Для разложения данного выражения на множители, заметим, что оно является квадратным относительно $\sqrt{x}$. Введем замену переменной: пусть $y = \sqrt{x}$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = y^2$. Подставив новую переменную в исходное выражение, получим квадратный трехчлен:
$y^2 + 6y + 8$
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 + 6y + 8 = 0$. Это можно сделать с помощью теоремы Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = -6$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 8$

Подбором находим корни: $y_1 = -4$ и $y_2 = -2$.
Разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $ay^2 + by + c = a(y - y_1)(y - y_2)$:
$y^2 + 6y + 8 = 1 \cdot (y - (-4))(y - (-2)) = (y + 4)(y + 2)$.
Теперь выполним обратную замену, подставив $\sqrt{x}$ вместо $y$:
$(\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} + 2)$.
Ответ: $(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 4)$.

б) $x - 7\sqrt{x} - 18$
Данное выражение также является квадратным относительно $\sqrt{x}$. Сделаем замену: пусть $y = \sqrt{x}$, тогда $x = y^2$. Получаем квадратный трехчлен:
$y^2 - 7y - 18$
Найдем корни уравнения $y^2 - 7y - 18 = 0$ по теореме Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = 7$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -18$

Корни уравнения: $y_1 = 9$ и $y_2 = -2$.
Раскладываем трехчлен на множители:
$y^2 - 7y - 18 = (y - 9)(y - (-2)) = (y - 9)(y + 2)$.
Выполняем обратную замену $y = \sqrt{x}$:
$(\sqrt{x} - 9)(\sqrt{x} + 2)$.
Ответ: $(\sqrt{x} - 9)(\sqrt{x} + 2)$.

в) $x - 12\sqrt{x} + 35$
Выполним замену переменной $y = \sqrt{x}$, что дает $x = y^2$. Исходное выражение превращается в квадратный трехчлен:
$y^2 - 12y + 35$
Решим квадратное уравнение $y^2 - 12y + 35 = 0$. По теореме Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = 12$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 35$

Корни уравнения: $y_1 = 5$ и $y_2 = 7$.
Разложим трехчлен на множители:
$y^2 - 12y + 35 = (y - 5)(y - 7)$.
Возвращаемся к исходной переменной, подставляя $y = \sqrt{x}$:
$(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} - 7)$.
Ответ: $(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} - 7)$.

г) $x + 3\sqrt{x} - 40$
Произведем замену $y = \sqrt{x}$, отсюда $x = y^2$. Получаем следующее выражение:
$y^2 + 3y - 40$
Найдем корни уравнения $y^2 + 3y - 40 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = -3$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -40$

Корни уравнения: $y_1 = 5$ и $y_2 = -8$.
Разложим квадратный трехчлен на множители:
$y^2 + 3y - 40 = (y - 5)(y - (-8)) = (y - 5)(y + 8)$.
Делаем обратную замену $y = \sqrt{x}$:
$(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 8)$.
Ответ: $(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 8)$.