Номер 32.34, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.34, страница 183.

Условие.

32.34 a) $7x + 23\sqrt{x} + 16;$

б) $3x^3 - 10x\sqrt{x} + 3;$

в) $9x + 4\sqrt{x} - 5;$

г) $2x^3 - 5x\sqrt{x} + 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) $7x + 23\sqrt{x} + 16$

Чтобы разложить данное выражение на множители, введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x}$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$. Заметим, что по определению квадратного корня $x \ge 0$ и $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное выражение:

$7t^2 + 23t + 16$

Мы получили квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7t^2 + 23t + 16 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 7 \cdot 16 = 529 - 448 = 81 = 9^2$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 + 9}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 - 9}{2 \cdot 7} = \frac{-32}{14} = -\frac{16}{7}$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(t-t_1)(t-t_2)$:

$7(t - (-1))(t - (-\frac{16}{7})) = 7(t+1)(t+\frac{16}{7}) = (t+1)(7t+16)$

Выполним обратную замену, подставив $t = \sqrt{x}$:

$(\sqrt{x}+1)(7\sqrt{x}+16)$

Ответ: $(\sqrt{x}+1)(7\sqrt{x}+16)$

б) $3x^3 - 10x\sqrt{x} + 3$

Для разложения на множители введем замену. Заметим, что $x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$, а $x^3 = (x^{3/2})^2$. Пусть $t = x\sqrt{x}$. Тогда $x^3 = t^2$. Подразумевается, что $x \ge 0$.

Подставим новую переменную в выражение:

$3t^2 - 10t + 3$

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2 - 10t + 3 = 0$ для разложения на множители.

Дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Разложим на множители:

$3(t-3)(t-\frac{1}{3}) = (t-3)(3t-1)$

Выполним обратную замену $t = x\sqrt{x}$:

$(x\sqrt{x}-3)(3x\sqrt{x}-1)$

Ответ: $(x\sqrt{x}-3)(3x\sqrt{x}-1)$

в) $9x + 4\sqrt{x} - 5$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $x = t^2$ ($x \ge 0$, $t \ge 0$).

Выражение принимает вид:

$9t^2 + 4t - 5$

Найдем корни уравнения $9t^2 + 4t - 5 = 0$.

Дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-4 + 14}{2 \cdot 9} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

$t_2 = \frac{-4 - 14}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1$

Разложим на множители:

$9(t - \frac{5}{9})(t - (-1)) = 9(t - \frac{5}{9})(t+1) = (9t-5)(t+1)$

Выполним обратную замену $t = \sqrt{x}$:

$(9\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+1)$

Ответ: $(9\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+1)$

г) $2x^3 - 5x\sqrt{x} + 2$

Сделаем замену, как и в пункте б). Пусть $t = x\sqrt{x} = x^{3/2}$, тогда $x^3 = t^2$ ($x \ge 0$).

Получим квадратный трехчлен:

$2t^2 - 5t + 2$

Найдем корни уравнения $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Разложение на множители:

$2(t-2)(t-\frac{1}{2}) = (t-2)(2t-1)$

Вернемся к исходной переменной, подставив $t = x\sqrt{x}$:

$(x\sqrt{x}-2)(2x\sqrt{x}-1)$

Ответ: $(x\sqrt{x}-2)(2x\sqrt{x}-1)$