Номер 32.31, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.31, страница 183.

Условие.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

32.31 а) $x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{2}$;

б) $x_1 = 3\sqrt{5}$, $x_2 = -3\sqrt{5}$;

в) $x_1 = \sqrt{7}$, $x_2 = -\sqrt{7}$;

г) $x_1 = 9\sqrt{2}$, $x_2 = -9\sqrt{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для составления квадратного уравнения по его известным корням $x_1$ и $x_2$ можно использовать теорему, обратную теореме Виета. Согласно ей, приведенное квадратное уравнение (с коэффициентом при $x^2$ равным 1) имеет вид:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

Этот метод будет использован для решения всех подпунктов.

а) Даны корни $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$.
2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^2 = -2$.
3. Подставим найденные значения в общую формулу уравнения: $x^2 - (0)x + (-2) = 0$.
4. Упростив, получаем итоговое уравнение: $x^2 - 2 = 0$.
Ответ: $x^2 - 2 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = 3\sqrt{5}$ и $x_2 = -3\sqrt{5}$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = 3\sqrt{5} + (-3\sqrt{5}) = 0$.
2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (3\sqrt{5}) \cdot (-3\sqrt{5}) = -(3^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = -(9 \cdot 5) = -45$.
3. Подставим значения в формулу: $x^2 - (0)x + (-45) = 0$.
4. Упростив, получаем: $x^2 - 45 = 0$.
Ответ: $x^2 - 45 = 0$.

в) Даны корни $x_1 = \sqrt{7}$ и $x_2 = -\sqrt{7}$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0$.
2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7}) = -(\sqrt{7})^2 = -7$.
3. Подставим значения в формулу: $x^2 - (0)x + (-7) = 0$.
4. Упростив, получаем: $x^2 - 7 = 0$.
Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

г) Даны корни $x_1 = 9\sqrt{2}$ и $x_2 = -9\sqrt{2}$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = 9\sqrt{2} + (-9\sqrt{2}) = 0$.
2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (9\sqrt{2}) \cdot (-9\sqrt{2}) = -(9^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = -(81 \cdot 2) = -162$.
3. Подставим значения в формулу: $x^2 - (0)x + (-162) = 0$.
4. Упростив, получаем: $x^2 - 162 = 0$.
Ответ: $x^2 - 162 = 0$.