Номер 32.39, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.39, страница 184.

Условие.

32.39 Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 9x - 17 = 0$. Не решая уравнения, вычислите:

а) $x_1^2 + x_2^2$;

б) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения данной задачи, не находя сами корни уравнения $x^2 - 9x - 17 = 0$, воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета гласит:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

В нашем случае, для уравнения $x^2 - 9x - 17 = 0$, коэффициенты равны $p = -9$ и $q = -17$.

Следовательно, мы можем найти сумму и произведение корней $x_1$ и $x_2$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-9) = 9$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = -17$.

Теперь мы можем использовать эти значения для вычисления требуемых выражений.

а) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, преобразуем это выражение, выделив полный квадрат суммы. Мы знаем, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда можно выразить $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим найденные значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (9)^2 - 2 \cdot (-17) = 81 + 34 = 115$.

Ответ: 115.

б) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

Чтобы найти значение этого выражения, вынесем за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Теперь подставим известные нам значения произведения ($x_1x_2 = -17$) и суммы ($x_1 + x_2 = 9$) корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-17) \cdot 9 = -153$.

Ответ: -153.