Номер 32.46, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.46, страница 185.

Условие.

32.46 Разность корней уравнения $2x^2 - 15x + p = 0$ равна 2,5. Найдите значение параметра $p$ и корни уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 15x + p = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, разность корней равна 2,5. Без ограничения общности, предположим, что $x_1 > x_2$, тогда получаем уравнение: $x_1 - x_2 = 2.5$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для нашего уравнения $2x^2 - 15x + p = 0$ коэффициенты равны $a=2$, $b=-15$, $c=p$. Применим теорему Виета:

• $x_1 + x_2 = -\frac{-15}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$
• $x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{2}$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 7.5 \\ x_1 - x_2 = 2.5 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x_1$:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 7.5 + 2.5$

$2x_1 = 10$

$x_1 = \frac{10}{2} = 5$

Теперь подставим найденное значение $x_1=5$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$:

$5 + x_2 = 7.5$

$x_2 = 7.5 - 5 = 2.5$

Таким образом, мы нашли корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 2.5$.

Далее найдем значение параметра $p$, используя второе соотношение из теоремы Виета:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{2}$

Подставим значения найденных корней:

$5 \cdot 2.5 = \frac{p}{2}$

$12.5 = \frac{p}{2}$

$p = 12.5 \cdot 2 = 25$

В качестве проверки подставим значение $p=25$ в исходное уравнение: $2x^2 - 15x + 25 = 0$.

Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 - 200 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{15 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{15 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{15 - 5}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

Корни совпали с найденными ранее, и их разность $5 - 2.5 = 2.5$ соответствует условию задачи. Следовательно, решение верное.

Ответ: значение параметра $p=25$, корни уравнения: 2,5 и 5.