Номер 32.51, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.51, страница 185.

Условие.

Решите уравнение:

32.51 a) $\frac{x^2}{x^2 - 7x + 10} + \frac{16}{3x^2 - 12} = 1;$

б) $\frac{2x^2}{2x^2 + x - 3} - \frac{8}{2x^2 - 3x - 9} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Решим уравнение $\frac{x^2}{x^2 - 7x + 10} + \frac{16}{3x^2 - 12} = 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

1. $x^2 - 7x + 10 \neq 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq 5$.

2. $3x^2 - 12 \neq 0$. $3(x^2 - 4) \neq 0$, $x^2 \neq 4$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Итак, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2, 5\}$.

Преобразуем левую часть уравнения. Представим первую дробь в виде:

$\frac{x^2}{x^2 - 7x + 10} = \frac{x^2 - 7x + 10 + 7x - 10}{x^2 - 7x + 10} = 1 + \frac{7x - 10}{x^2 - 7x + 10}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$1 + \frac{7x - 10}{x^2 - 7x + 10} + \frac{16}{3x^2 - 12} = 1$.

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\frac{7x - 10}{x^2 - 7x + 10} + \frac{16}{3x^2 - 12} = 0$.

Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$;

$3x^2 - 12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2)$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{7x - 10}{(x-2)(x-5)} + \frac{16}{3(x-2)(x+2)} = 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $3(x-2)(x-5)(x+2)$:

$\frac{3(x+2)(7x - 10) + 16(x-5)}{3(x-2)(x-5)(x+2)} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

$3(x+2)(7x-10) + 16(x-5) = 0$.

$3(7x^2 + 14x - 10x - 20) + 16x - 80 = 0$.

$3(7x^2 + 4x - 20) + 16x - 80 = 0$.

$21x^2 + 12x - 60 + 16x - 80 = 0$.

$21x^2 + 28x - 140 = 0$.

Разделим все уравнение на 7:

$3x^2 + 4x - 20 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_2 = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2, 2, 5$).

Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -\frac{10}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{10}{3}$.

б)

Решим уравнение $\frac{2x^2}{2x^2 + x - 3} - \frac{8}{2x^2 - 3x - 9} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. $2x^2 + x - 3 \neq 0$. Решим $2x^2 + x - 3 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$. Корни: $x_1 = \frac{-1+5}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-1-5}{4} = -\frac{3}{2}$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq -\frac{3}{2}$.

2. $2x^2 - 3x - 9 \neq 0$. Решим $2x^2 - 3x - 9 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$. Корни: $x_1 = \frac{3+9}{4} = 3$, $x_2 = \frac{3-9}{4} = -\frac{3}{2}$. Значит, $x \neq 3$ и $x \neq -\frac{3}{2}$.

Итак, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{3}{2}, 1, 3\}$.

Разложим знаменатели на множители, используя найденные корни:

$2x^2 + x - 3 = 2(x-1)(x+\frac{3}{2}) = (x-1)(2x+3)$.

$2x^2 - 3x - 9 = 2(x-3)(x+\frac{3}{2}) = (x-3)(2x+3)$.

Перенесем 1 в левую часть и преобразуем первую дробь:

$\frac{2x^2}{2x^2 + x - 3} - 1 = \frac{8}{2x^2 - 3x - 9}$.

$\frac{2x^2 - (2x^2 + x - 3)}{2x^2 + x - 3} = \frac{8}{2x^2 - 3x - 9}$.

$\frac{-x + 3}{2x^2 + x - 3} = \frac{8}{2x^2 - 3x - 9}$.

Подставим разложенные на множители знаменатели:

$\frac{-(x - 3)}{(x-1)(2x+3)} = \frac{8}{(x-3)(2x+3)}$.

В области допустимых значений можно умножить обе части уравнения на $(x-3)(2x+3)$, так как эти множители не равны нулю. Получим:

$\frac{-(x-3)}{x-1} = 8$.

$-(x-3) = 8(x-1)$.

$-x + 3 = 8x - 8$.

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$3 + 8 = 8x + x$.

$11 = 9x$.

$x = \frac{11}{9}$.

Повторная проверка решения:

$\frac{-(x - 3)}{(x-1)(2x+3)} = \frac{8}{(x-3)(2x+3)}$

Умножим обе части на общий знаменатель $(x-1)(x-3)(2x+3)$:

$-(x-3)(x-3) = 8(x-1)$

$-(x^2 - 6x + 9) = 8x - 8$

$-x^2 + 6x - 9 = 8x - 8$

$0 = x^2 + 8x - 6x - 8 + 9$

$0 = x^2 + 2x + 1$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$.

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \neq -\frac{3}{2}, 1, 3$).

Корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-1$.