Номер 32.55, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.55, страница 186.

Условие.

32.55 Найдите значение выражения при $x = 2015$:

a) $ \left( \frac{3}{x - 3} + \frac{4}{x^2 - 5x + 6} + \frac{2x}{x - 2} \right) : \left( \frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 12}{9 - 3x} \right) $

б) $ \left( \frac{2x}{x + 3} + \frac{1}{x - 1} - \frac{4}{x^2 + 2x - 3} \right) \cdot \left( \frac{x}{2x + 1} + \frac{3 - x}{6 + 2x} \right) $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти значение выражения $\left(\frac{3}{x-3} + \frac{4}{x^2 - 5x + 6} + \frac{2x}{x-2}\right) : \frac{2x+1}{3} - \frac{x-12}{9-3x}$ при $x = 2015$, сначала упростим его.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатель $x^2 - 5x + 6$ на множители. Корнями уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ являются $x_1=2$ и $x_2=3$. Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Общий знаменатель для дробей в скобках — $(x-2)(x-3)$.

$\frac{3}{x-3} + \frac{4}{(x-2)(x-3)} + \frac{2x}{x-2} = \frac{3(x-2)}{(x-2)(x-3)} + \frac{4}{(x-2)(x-3)} + \frac{2x(x-3)}{(x-2)(x-3)}$

$= \frac{3x - 6 + 4 + 2x^2 - 6x}{(x-2)(x-3)} = \frac{2x^2 - 3x - 2}{(x-2)(x-3)}$

Разложим на множители числитель $2x^2 - 3x - 2$. Корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=-1/2$. Тогда $2x^2 - 3x - 2 = 2(x-2)(x+1/2) = (x-2)(2x+1)$.

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{(x-2)(2x+1)}{(x-2)(x-3)} = \frac{2x+1}{x-3}$

2. Теперь выполним деление и вычитание:

$\frac{2x+1}{x-3} : \frac{2x+1}{3} - \frac{x-12}{9-3x} = \frac{2x+1}{x-3} \cdot \frac{3}{2x+1} - \frac{x-12}{9-3x}$

Сокращаем $(2x+1)$ и преобразуем знаменатель второй дроби $9-3x = 3(3-x) = -3(x-3)$:

$\frac{3}{x-3} - \frac{x-12}{-3(x-3)} = \frac{3}{x-3} + \frac{x-12}{3(x-3)}$

Приводим к общему знаменателю $3(x-3)$:

$\frac{3 \cdot 3}{3(x-3)} + \frac{x-12}{3(x-3)} = \frac{9 + x - 12}{3(x-3)} = \frac{x - 3}{3(x-3)}$

Сокращаем $(x-3)$:

$\frac{1}{3}$

Результат не зависит от значения $x$ (при условии, что $x$ не равен 2, 3 и -1/2). Так как $x = 2015$, эти условия выполняются. Следовательно, значение выражения равно $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Чтобы найти значение выражения $\left(\frac{2x}{x+3} + \frac{1}{x-1} - \frac{4}{x^2 + 2x - 3}\right) \cdot \frac{x}{2x+1} + \frac{3-x}{6+2x}$ при $x = 2015$, сначала упростим его.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим на множители знаменатель $x^2 + 2x - 3$. Корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ являются $x_1=1$ и $x_2=-3$. Следовательно, $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$. Общий знаменатель — $(x-1)(x+3)$.

$\frac{2x(x-1)}{(x+3)(x-1)} + \frac{1(x+3)}{(x-1)(x+3)} - \frac{4}{(x-1)(x+3)} = \frac{2x^2 - 2x + x + 3 - 4}{(x-1)(x+3)}$

$= \frac{2x^2 - x - 1}{(x-1)(x+3)}$

Разложим на множители числитель $2x^2 - x - 1$. Корни уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$ равны $x_1=1$ и $x_2=-1/2$. Тогда $2x^2 - x - 1 = 2(x-1)(x+1/2) = (x-1)(2x+1)$.

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{(x-1)(2x+1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{2x+1}{x+3}$

2. Теперь выполним умножение и сложение:

$\frac{2x+1}{x+3} \cdot \frac{x}{2x+1} + \frac{3-x}{6+2x}$

Сокращаем $(2x+1)$ и преобразуем знаменатель второй дроби $6+2x = 2(3+x) = 2(x+3)$:

$\frac{x}{x+3} + \frac{3-x}{2(x+3)}$

Приводим к общему знаменателю $2(x+3)$:

$\frac{2x}{2(x+3)} + \frac{3-x}{2(x+3)} = \frac{2x + 3 - x}{2(x+3)} = \frac{x+3}{2(x+3)}$

Сокращаем $(x+3)$:

$\frac{1}{2}$

Результат не зависит от значения $x$ (при условии, что $x$ не равен 1, -3 и -1/2). Так как $x = 2015$, эти условия выполняются. Следовательно, значение выражения равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$