Номер 33.4, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.4, страница 186.

Условие.

33.4 a) $\sqrt{\frac{2x+3}{x-1}} = 1;$

б) $\sqrt{\frac{x+5}{4x-1}} = 4;$

в) $\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}} = 2;$

г) $\sqrt{\frac{x-4}{3x+1}} = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано уравнение $ \sqrt{\frac{2x + 3}{x - 1}} = 1 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями: знаменатель не равен нулю ($ x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 $) и подкоренное выражение неотрицательно ($ \frac{2x + 3}{x - 1} \ge 0 $).
Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty; -1.5] \cup (1; +\infty) $.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $ \left(\sqrt{\frac{2x + 3}{x - 1}}\right)^2 = 1^2 $
$ \frac{2x + 3}{x - 1} = 1 $
Умножим обе части на $ (x - 1) $, так как $ x \ne 1 $:
$ 2x + 3 = x - 1 $
$ 2x - x = -1 - 3 $
$ x = -4 $
Найденное значение $ x = -4 $ принадлежит ОДЗ, так как $ -4 \in (-\infty; -1.5] $.
Ответ: $ -4 $.

б) Дано уравнение $ \sqrt{\frac{x + 5}{4x - 1}} = 4 $.
ОДЗ: $ 4x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{4} $ и $ \frac{x + 5}{4x - 1} \ge 0 $.
Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty; -5] \cup (\frac{1}{4}; +\infty) $.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $ \left(\sqrt{\frac{x + 5}{4x - 1}}\right)^2 = 4^2 $
$ \frac{x + 5}{4x - 1} = 16 $
Умножим обе части на $ (4x - 1) $, так как $ x \ne \frac{1}{4} $:
$ x + 5 = 16(4x - 1) $
$ x + 5 = 64x - 16 $
$ 5 + 16 = 64x - x $
$ 21 = 63x $
$ x = \frac{21}{63} = \frac{1}{3} $
Найденное значение $ x = \frac{1}{3} $ принадлежит ОДЗ, так как $ \frac{1}{3} > \frac{1}{4} $ ($ \frac{4}{12} > \frac{3}{12} $), т.е. $ \frac{1}{3} \in (\frac{1}{4}; +\infty) $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

в) Дано уравнение $ \sqrt{\frac{5x - 1}{x + 3}} = 2 $.
ОДЗ: $ x + 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3 $ и $ \frac{5x - 1}{x + 3} \ge 0 $.
Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty; -3) \cup [\frac{1}{5}; +\infty) $.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $ \left(\sqrt{\frac{5x - 1}{x + 3}}\right)^2 = 2^2 $
$ \frac{5x - 1}{x + 3} = 4 $
Умножим обе части на $ (x + 3) $, так как $ x \ne -3 $:
$ 5x - 1 = 4(x + 3) $
$ 5x - 1 = 4x + 12 $
$ 5x - 4x = 12 + 1 $
$ x = 13 $
Найденное значение $ x = 13 $ принадлежит ОДЗ, так как $ 13 \in [\frac{1}{5}; +\infty) $.
Ответ: $ 13 $.

г) Дано уравнение $ \sqrt{\frac{x - 4}{3x + 1}} = 3 $.
ОДЗ: $ 3x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -\frac{1}{3} $ и $ \frac{x - 4}{3x + 1} \ge 0 $.
Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup [4; +\infty) $.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $ \left(\sqrt{\frac{x - 4}{3x + 1}}\right)^2 = 3^2 $
$ \frac{x - 4}{3x + 1} = 9 $
Умножим обе части на $ (3x + 1) $, так как $ x \ne -\frac{1}{3} $:
$ x - 4 = 9(3x + 1) $
$ x - 4 = 27x + 9 $
$ -4 - 9 = 27x - x $
$ -13 = 26x $
$ x = -\frac{13}{26} = -\frac{1}{2} $
Найденное значение $ x = -\frac{1}{2} $ принадлежит ОДЗ, так как $ -\frac{1}{2} < -\frac{1}{3} $ ($ -0.5 < -0.33... $), т.е. $ -\frac{1}{2} \in (-\infty; -\frac{1}{3}) $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.