Номер 33.3, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.3, страница 186.

Условие.

33.3 a) $\sqrt{4x^2 + 5x - 2} = 2;$

б) $\sqrt{23x - 14 - 3x^2} = 0;$

в) $\sqrt{23 + 3x - 5x^2} = 3;$

г) $\sqrt{5x^2 + 22x - 15} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{4x^2 + 5x - 2} = 2$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо возвести обе его части в квадрат. Так как правая часть уравнения ($2$) является неотрицательным числом, данное преобразование является равносильным, и дополнительная проверка корней не требуется (область допустимых значений будет выполнена автоматически, так как подкоренное выражение станет равным $2^2=4$, что больше нуля).

$(\sqrt{4x^2 + 5x - 2})^2 = 2^2$

$4x^2 + 5x - 2 = 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 + 5x - 2 - 4 = 0$

$4x^2 + 5x - 6 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 11}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 11}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

Ответ: $x = -2; x = \frac{3}{4}$.

б) $\sqrt{23x - 14 - 3x^2} = 0$

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = 0$ равносильно тому, что подкоренное выражение равно нулю, то есть $f(x) = 0$.

$23x - 14 - 3x^2 = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$, умножив все члены на $-1$:

$3x^2 - 23x + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 529 - 168 = 361 = 19^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{23 + 19}{6} = \frac{42}{6} = 7$

$x_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{23 - 19}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $x = \frac{2}{3}; x = 7$.

в) $\sqrt{23 + 3x - 5x^2} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как правая часть ($3$) — число неотрицательное, это преобразование является равносильным.

$(\sqrt{23 + 3x - 5x^2})^2 = 3^2$

$23 + 3x - 5x^2 = 9$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-5x^2 + 3x + 23 - 9 = 0$

$-5x^2 + 3x + 14 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$5x^2 - 3x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-14) = 9 + 280 = 289 = 17^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 17}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 17}{10} = \frac{-14}{10} = -1.4$

Ответ: $x = -1.4; x = 2$.

г) $\sqrt{5x^2 + 22x - 15} = 0$

Данное уравнение равносильно тому, что выражение под корнем равно нулю.

$5x^2 + 22x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 22^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-15) = 484 + 300 = 784 = 28^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-22 + \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{-22 + 28}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$

$x_2 = \frac{-22 - \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{-22 - 28}{10} = \frac{-50}{10} = -5$

Ответ: $x = -5; x = 0.6$.