Номер 32.54, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.54, страница 186.

Условие.

32.54 a) $\frac{x-1}{x^2-2x-3} + \frac{x+3}{x^2-2x-8} = \frac{4x-1}{2x^2-6x-8}$;

б) $\frac{2}{2x^2-x-1} + \frac{x}{x^2-x-2} = \frac{3x+1}{3x^2-3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Дано уравнение:

$$ \frac{x-1}{x^2 - 2x - 3} + \frac{x+3}{x^2 - 2x - 8} = \frac{4x-1}{2x^2 - 6x - 8} $$

1. Разложим на множители знаменатели каждой дроби. Для этого найдем корни соответствующих квадратных трехчленов.

Для $x^2 - 2x - 3 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 3$, $x_2 = -1$. Таким образом, $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$.

Для $x^2 - 2x - 8 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 4$, $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$.

Для $2x^2 - 6x - 8$: вынесем общий множитель 2, получим $2(x^2 - 3x - 4)$. Для $x^2 - 3x - 4 = 0$ по теореме Виета корни $x_1 = 4$, $x_2 = -1$. Таким образом, $2x^2 - 6x - 8 = 2(x-4)(x+1)$.

2. Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями:

$$ \frac{x-1}{(x-3)(x+1)} + \frac{x+3}{(x-4)(x+2)} = \frac{4x-1}{2(x-4)(x+1)} $$

3. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$(x-3)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3, x \neq -1$

$(x-4)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4, x \neq -2$

$2(x-4)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4, x \neq -1$

Итак, ОДЗ: $x \neq -2, x \neq -1, x \neq 3, x \neq 4$.

4. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $2(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)$:

$$ \frac{x-1}{(x-3)(x+1)} + \frac{x+3}{(x-4)(x+2)} - \frac{4x-1}{2(x-4)(x+1)} = 0 $$

$$ \frac{2(x-1)(x-4)(x+2) + 2(x+3)(x-3)(x+1) - (4x-1)(x-3)(x+2)}{2(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)} = 0 $$

5. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$2(x-1)(x^2-2x-8) + 2(x^2-9)(x+1) - (4x-1)(x^2-x-6) = 0$

$2(x^3-2x^2-8x-x^2+2x+8) + 2(x^3+x^2-9x-9) - (4x^3-4x^2-24x-x^2+x+6) = 0$

$2(x^3-3x^2-6x+8) + 2(x^3+x^2-9x-9) - (4x^3-5x^2-23x+6) = 0$

$2x^3-6x^2-12x+16 + 2x^3+2x^2-18x-18 - 4x^3+5x^2+23x-6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^3+2x^3-4x^3) + (-6x^2+2x^2+5x^2) + (-12x-18x+23x) + (16-18-6) = 0$

$x^2 - 7x - 8 = 0$

6. Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Отсюда $x_1 = 8$, $x_2 = -1$.

7. Проверим корни на принадлежность ОДЗ.

Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=-1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=-1$ знаменатели некоторых дробей обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $8$.

б)

Дано уравнение:

$$ \frac{2}{2x^2 - x - 1} + \frac{x}{x^2 - x - 2} = \frac{3x+1}{3x^2 - 3} $$

1. Разложим на множители знаменатели.

Для $2x^2 - x - 1 = 0$: Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 9$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4}$, то есть $x_1=1$ и $x_2 = -1/2$. Тогда $2x^2 - x - 1 = 2(x-1)(x+1/2) = (x-1)(2x+1)$.

Для $x^2 - x - 2 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. Тогда $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.

Для $3x^2 - 3$: $3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

2. Перепишем уравнение:

$$ \frac{2}{(x-1)(2x+1)} + \frac{x}{(x-2)(x+1)} = \frac{3x+1}{3(x-1)(x+1)} $$

3. Определим ОДЗ:

$(x-1)(2x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq -1/2$

$(x-2)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, x \neq -1$

$3(x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq -1$

ОДЗ: $x \neq -1, x \neq -1/2, x \neq 1, x \neq 2$.

4. Приведем уравнение к общему знаменателю $3(x-1)(x+1)(2x+1)(x-2)$:

$$ \frac{2 \cdot 3(x+1)(x-2) + x \cdot 3(x-1)(2x+1) - (3x+1)(2x+1)(x-2)}{3(x-1)(x+1)(2x+1)(x-2)} = 0 $$

5. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$6(x^2 - x - 2) + 3x(2x^2 - x - 1) - (6x^2+5x+1)(x-2) = 0$

$6x^2 - 6x - 12 + 6x^3 - 3x^2 - 3x - (6x^3 - 12x^2 + 5x^2 - 10x + x - 2) = 0$

$6x^3 + 3x^2 - 9x - 12 - (6x^3 - 7x^2 - 9x - 2) = 0$

$6x^3 + 3x^2 - 9x - 12 - 6x^3 + 7x^2 + 9x + 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x^3-6x^3) + (3x^2+7x^2) + (-9x+9x) + (-12+2) = 0$

$10x^2 - 10 = 0$

$10(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

6. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

7. Проверим корни на принадлежность ОДЗ.

Корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=-1$ не удовлетворяет ОДЗ.

Так как оба найденных корня являются посторонними, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.