Номер 32.52, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.52, страница 185.

Условие.

32.52 a) $\frac{10x + 5}{21x - 14} - \frac{x - 1}{2x + 3} = \frac{21}{6x^2 + 5x - 6}$;

б) $\frac{4}{6x^2 - 13x + 6} + \frac{x - 2}{6x - 4} = \frac{2x + 1}{10x - 15}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Решим уравнение: $ \frac{10x + 5}{21x - 14} - \frac{x - 1}{2x + 3} = \frac{21}{6x^2 + 5x - 6} $

1. Для начала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель. Также упростим числитель первой дроби.

$10x + 5 = 5(2x + 1)$

$21x - 14 = 7(3x - 2)$

Чтобы разложить $6x^2 + 5x - 6$, найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

$x_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Таким образом, $6x^2 + 5x - 6 = 6(x + \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3}) = 2(x + \frac{3}{2}) \cdot 3(x - \frac{2}{3}) = (2x + 3)(3x - 2)$.

2. Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями:

$$ \frac{5(2x + 1)}{7(3x - 2)} - \frac{x - 1}{2x + 3} = \frac{21}{(3x - 2)(2x + 3)} $$

3. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:

$3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3}$

$2x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{2}$

4. Общий знаменатель для всех дробей: $7(3x - 2)(2x + 3)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$5(2x + 1)(2x + 3) - 7(x - 1)(3x - 2) = 21 \cdot 7$

5. Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$5(4x^2 + 6x + 2x + 3) - 7(3x^2 - 2x - 3x + 2) = 147$

$5(4x^2 + 8x + 3) - 7(3x^2 - 5x + 2) = 147$

$20x^2 + 40x + 15 - 21x^2 + 35x - 14 = 147$

6. Приведем подобные слагаемые и решим квадратное уравнение:

$-x^2 + 75x + 1 = 147$

$-x^2 + 75x - 146 = 0$

$x^2 - 75x + 146 = 0$

Используем дискриминант для нахождения корней:

$D = (-75)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 146 = 5625 - 584 = 5041 = 71^2$

$x_1 = \frac{75 - 71}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{75 + 71}{2} = \frac{146}{2} = 73$

7. Проверяем, входят ли корни в ОДЗ. Оба корня (2 и 73) не равны $2/3$ и $-3/2$, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: 2; 73.

б)

Решим уравнение: $ \frac{4}{6x^2 - 13x + 6} + \frac{x - 2}{6x - 4} = \frac{2x + 1}{10x - 15} $

1. Разложим знаменатели на множители.

Для $6x^2 - 13x + 6$ найдем корни:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Следовательно, $6x^2 - 13x + 6 = 6(x - \frac{2}{3})(x - \frac{3}{2}) = (3x - 2)(2x - 3)$.

$6x - 4 = 2(3x - 2)$

$10x - 15 = 5(2x - 3)$

2. Перепишем уравнение:

$$ \frac{4}{(3x - 2)(2x - 3)} + \frac{x - 2}{2(3x - 2)} = \frac{2x + 1}{5(2x - 3)} $$

3. ОДЗ: $3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3}$ и $2x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}$.

4. Общий знаменатель: $10(3x - 2)(2x - 3)$. Умножим на него обе части уравнения:

$10 \cdot 4 + 5(x - 2)(2x - 3) = 2(2x + 1)(3x - 2)$

5. Раскроем скобки:

$40 + 5(2x^2 - 3x - 4x + 6) = 2(6x^2 - 4x + 3x - 2)$

$40 + 5(2x^2 - 7x + 6) = 2(6x^2 - x - 2)$

$40 + 10x^2 - 35x + 30 = 12x^2 - 2x - 4$

6. Сгруппируем все члены в одной части уравнения:

$10x^2 - 35x + 70 = 12x^2 - 2x - 4$

$0 = 12x^2 - 10x^2 - 2x + 35x - 4 - 70$

$2x^2 + 33x - 74 = 0$

7. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 33^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-74) = 1089 + 592 = 1681 = 41^2$

$x_1 = \frac{-33 - 41}{2 \cdot 2} = \frac{-74}{4} = -\frac{37}{2} = -18,5$

$x_2 = \frac{-33 + 41}{4} = \frac{8}{4} = 2$

8. Оба корня (-18,5 и 2) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -18,5; 2.