Номер 32.47, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.47, страница 185.

Условие.

32.47 Один из корней квадратного уравнения $2x^2 - 14x + p = 0$ больше другого в 2,5 раза. Найдите значение параметра $p$ и корни уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 14x + p = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, один корень в 2,5 раза больше другого. Запишем это в виде соотношения: пусть $x_2 = 2.5 \cdot x_1$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $2x^2 - 14x + p = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -14$, $c = p$.

Подставим эти значения в формулу для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-14}{2} = 7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $x_2$:

1) $x_1 + x_2 = 7$

2) $x_2 = 2.5x_1$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $x_1$:

$x_1 + 2.5x_1 = 7$

$3.5x_1 = 7$

$x_1 = \frac{7}{3.5} = 2$

Теперь, зная $x_1$, найдем второй корень $x_2$:

$x_2 = 2.5 \cdot x_1 = 2.5 \cdot 2 = 5$

Итак, мы нашли корни уравнения: 2 и 5.

Для того чтобы найти значение параметра $p$, воспользуемся формулой для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p}{2}$

Подставим известные значения корней:

$2 \cdot 5 = \frac{p}{2}$

$10 = \frac{p}{2}$

Отсюда находим $p$:

$p = 10 \cdot 2 = 20$

Ответ: значение параметра $p = 20$, корни уравнения 2 и 5.