Номер 32.48, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.48, страница 185.

Условие.

Упростите выражение:

32.48 a) $ \frac{x + 12}{x^3 - 9x} : \left( \frac{x - 3}{2x^2 + 5x - 3} - \frac{9}{9 - x^2} \right); $

б) $ \left( \frac{3a - 1}{a^2 - 4} - \frac{9a}{3a^2 + 5a - 2} \right) \cdot \frac{15a^3 - 60a}{12a + 1}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним вычитание в скобках, предварительно разложив знаменатели на множители.
1) Разложим знаменатели на множители:
$x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)$
$2x^2 + 5x - 3$. Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 + 5x - 3=0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$. Корни: $x_1 = \frac{-5+7}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-5-7}{4} = -3$. Следовательно, $2x^2 + 5x - 3 = 2(x - \frac{1}{2})(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)$.
$9 - x^2 = -(x^2 - 9) = -(x - 3)(x + 3)$.
2) Выполним действие в скобках:
$\frac{x - 3}{2x^2 + 5x - 3} - \frac{9}{9 - x^2} = \frac{x - 3}{(2x - 1)(x + 3)} - \frac{9}{-(x - 3)(x + 3)} = \frac{x - 3}{(2x - 1)(x + 3)} + \frac{9}{(x - 3)(x + 3)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(2x - 1)(x + 3)(x - 3)$:
$\frac{(x - 3)(x - 3) + 9(2x - 1)}{(2x - 1)(x + 3)(x - 3)} = \frac{x^2 - 6x + 9 + 18x - 9}{(2x - 1)(x - 3)(x + 3)} = \frac{x^2 + 12x}{(2x - 1)(x - 3)(x + 3)} = \frac{x(x + 12)}{(2x - 1)(x - 3)(x + 3)}$
3) Теперь выполним деление:
$\frac{x + 12}{x^3 - 9x} : \frac{x(x + 12)}{(2x - 1)(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 12}{x(x - 3)(x + 3)} \cdot \frac{(2x - 1)(x - 3)(x + 3)}{x(x + 12)}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{x + 12}}{x\cancel{(x - 3)}\cancel{(x + 3)}} \cdot \frac{(2x - 1)\cancel{(x - 3)}\cancel{(x + 3)}}{x(\cancel{x + 12})} = \frac{2x - 1}{x \cdot x} = \frac{2x - 1}{x^2}$

Ответ: $\frac{2x - 1}{x^2}$

б) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним вычитание в скобках, а затем умножение.
1) Разложим на множители знаменатели в скобках и числитель дроби за скобками:
$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$
$3a^2 + 5a - 2$. Найдем корни квадратного трехчлена $3a^2 + 5a - 2=0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$. Корни: $a_1 = \frac{-5+7}{6} = \frac{1}{3}$, $a_2 = \frac{-5-7}{6} = -2$. Следовательно, $3a^2 + 5a - 2 = 3(a - \frac{1}{3})(a + 2) = (3a - 1)(a + 2)$.
$15a^3 - 60a = 15a(a^2 - 4) = 15a(a - 2)(a + 2)$.
2) Выполним действие в скобках:
$\frac{3a - 1}{a^2 - 4} - \frac{9a}{3a^2 + 5a - 2} = \frac{3a - 1}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{9a}{(3a - 1)(a + 2)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a - 2)(a + 2)(3a - 1)$:
$\frac{(3a - 1)(3a - 1) - 9a(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)} = \frac{(9a^2 - 6a + 1) - (9a^2 - 18a)}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)} = \frac{9a^2 - 6a + 1 - 9a^2 + 18a}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)} = \frac{12a + 1}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)}$
3) Теперь выполним умножение:
$\frac{12a + 1}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)} \cdot \frac{15a^3 - 60a}{12a + 1} = \frac{12a + 1}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)} \cdot \frac{15a(a - 2)(a + 2)}{12a + 1}$
Сокращаем одинаковые множители:
$\frac{\cancel{12a + 1}}{\cancel{(a - 2)}\cancel{(a + 2)}(3a - 1)} \cdot \frac{15a\cancel{(a - 2)}\cancel{(a + 2)}}{\cancel{12a + 1}} = \frac{15a}{3a - 1}$

Ответ: $\frac{15a}{3a - 1}$