Номер 32.53, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.53, страница 185.

Условие.

32.53 a) $\frac{2x+1}{6x-4} + \frac{13}{6x^2+5x-6} = \frac{2x+1}{4x+6};$

б) $\frac{8x-1}{10x^2-19x+6} + \frac{x-1}{10x-4} = \frac{2x+1}{4x-6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим уравнение $ \frac{2x + 1}{6x - 4} + \frac{13}{6x^2 + 5x - 6} = \frac{2x + 1}{4x + 6} $.

1. Разложим знаменатели дробей на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $6x^2 + 5x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$; $x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
Тогда $6x^2 + 5x - 6 = 6(x - \frac{2}{3})(x + \frac{3}{2}) = (3x - 2)(2x + 3)$.
Также разложим на множители линейные знаменатели:
$6x - 4 = 2(3x - 2)$
$4x + 6 = 2(2x + 3)$

2. Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями:
$ \frac{2x + 1}{2(3x - 2)} + \frac{13}{(3x - 2)(2x + 3)} = \frac{2x + 1}{2(2x + 3)} $.

3. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$3x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3}$
$2x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$

4. Общий знаменатель дробей: $2(3x - 2)(2x + 3)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$(2x + 1)(2x + 3) + 13 \cdot 2 = (2x + 1)(3x - 2)$

5. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$4x^2 + 6x + 2x + 3 + 26 = 6x^2 - 4x + 3x - 2$
$4x^2 + 8x + 29 = 6x^2 - x - 2$
Перенесем все члены в правую часть:
$6x^2 - 4x^2 - x - 8x - 2 - 29 = 0$
$2x^2 - 9x - 31 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-31) = 81 + 248 = 329$
$x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{329}}{4}$

7. Полученные корни не совпадают с ограничениями ОДЗ ($x \neq \frac{2}{3}$ и $x \neq -\frac{3}{2}$), следовательно, оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $x = \frac{9 \pm \sqrt{329}}{4}$.

б) Решим уравнение $ \frac{8x - 1}{10x^2 - 19x + 6} + \frac{x - 1}{10x - 4} = \frac{2x + 1}{4x - 6} $.

1. Разложим знаменатели на множители. Найдем корни квадратного трехчлена $10x^2 - 19x + 6 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 = 361 - 240 = 121 = 11^2$.
Корни: $x_1 = \frac{19 - 11}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$; $x_2 = \frac{19 + 11}{2 \cdot 10} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$.
Тогда $10x^2 - 19x + 6 = 10(x - \frac{2}{5})(x - \frac{3}{2}) = (5x - 2)(2x - 3)$.
Также разложим на множители линейные знаменатели:
$10x - 4 = 2(5x - 2)$
$4x - 6 = 2(2x - 3)$

2. Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями:
$ \frac{8x - 1}{(5x - 2)(2x - 3)} + \frac{x - 1}{2(5x - 2)} = \frac{2x + 1}{2(2x - 3)} $.

3. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$5x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{2}{5}$
$2x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$

4. Общий знаменатель дробей: $2(5x - 2)(2x - 3)$. Умножим обе части уравнения на него:
$(8x - 1) \cdot 2 + (x - 1)(2x - 3) = (2x + 1)(5x - 2)$

5. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$16x - 2 + 2x^2 - 3x - 2x + 3 = 10x^2 - 4x + 5x - 2$
$2x^2 + 11x + 1 = 10x^2 + x - 2$
Перенесем все члены в правую часть:
$10x^2 - 2x^2 + x - 11x - 2 - 1 = 0$
$8x^2 - 10x - 3 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 100 + 96 = 196 = 14^2$
$x_1 = \frac{10 + 14}{2 \cdot 8} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{10 - 14}{2 \cdot 8} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$

7. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = \frac{3}{2}$ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ. Корень $x_2 = -\frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = -\frac{1}{4}$.