Номер 32.49, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.49, страница 185.

Условие.

32.49 a) $\left(\frac{4}{5a^2 + a - 4} - \frac{a + 1}{9(5a - 4)}\right) \cdot \frac{15a - 12}{a + 7};$

б) $\frac{5(a + 4)}{a - 1} : \left(\frac{9(a - 1)}{3a + 4} - \frac{(2a - 7)^2}{3a^2 + a - 4}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Упростим выражение $(\frac{4}{5a^2 + a - 4} - \frac{a+1}{9(5a-4)}) \cdot \frac{15a-12}{a+7}$.

1. Разложим на множители знаменатель первой дроби в скобках $5a^2 + a - 4$.
Для этого решим квадратное уравнение $5a^2 + a - 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
Корни уравнения: $a_1 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$ и $a_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Следовательно, $5a^2 + a - 4 = 5(a - (-1))(a - \frac{4}{5}) = 5(a+1)(a - \frac{4}{5}) = (a+1)(5a-4)$.

2. Подставим разложенный знаменатель в исходное выражение:

$(\frac{4}{(a+1)(5a-4)} - \frac{a+1}{9(5a-4)}) \cdot \frac{15a-12}{a+7}$

3. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $9(a+1)(5a-4)$:

$\frac{4 \cdot 9 - (a+1)(a+1)}{9(a+1)(5a-4)} = \frac{36 - (a+1)^2}{9(a+1)(5a-4)}$

4. Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ (здесь $36=6^2$):

$36 - (a+1)^2 = (6 - (a+1))(6 + (a+1)) = (6-a-1)(6+a+1) = (5-a)(a+7)$.

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$\frac{(5-a)(a+7)}{9(a+1)(5a-4)}$

5. Выполним умножение. Разложим числитель $15a-12$ на множители: $15a-12 = 3(5a-4)$.

$\frac{(5-a)(a+7)}{9(a+1)(5a-4)} \cdot \frac{3(5a-4)}{a+7}$

6. Сократим одинаковые множители $(a+7)$, $(5a-4)$, а также 3 и 9:

$\frac{(5-a)\cancel{(a+7)}}{_3\cancel{9}(a+1)\cancel{(5a-4)}} \cdot \frac{\cancel{3}\cancel{(5a-4)}}{\cancel{a+7}} = \frac{5-a}{3(a+1)}$

Ответ: $\frac{5-a}{3(a+1)}$

б)

Упростим выражение $\frac{5(a+4)}{a-1} : (\frac{9(a-1)}{3a+4} - \frac{(2a-7)^2}{3a^2+a-4})$.

1. Сначала выполним действие в скобках. Для этого разложим на множители знаменатель второй дроби $3a^2+a-4$.
Решим квадратное уравнение $3a^2+a-4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $a_1 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ и $a_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
Следовательно, $3a^2+a-4 = 3(a-1)(a-(-\frac{4}{3})) = 3(a-1)(a+\frac{4}{3}) = (a-1)(3a+4)$.

2. Подставим разложение в выражение в скобках и приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)(3a+4)$:

$\frac{9(a-1)}{3a+4} - \frac{(2a-7)^2}{(a-1)(3a+4)} = \frac{9(a-1)(a-1) - (2a-7)^2}{(a-1)(3a+4)} = \frac{9(a-1)^2 - (2a-7)^2}{(a-1)(3a+4)}$

3. Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Заметим, что $9(a-1)^2 = (3(a-1))^2$.

$(3(a-1))^2 - (2a-7)^2 = (3(a-1) - (2a-7))(3(a-1) + (2a-7))$
$= (3a-3-2a+7)(3a-3+2a-7)$
$= (a+4)(5a-10) = 5(a+4)(a-2)$

4. Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{5(a+4)(a-2)}{(a-1)(3a+4)}$

5. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{5(a+4)}{a-1} : \frac{5(a+4)(a-2)}{(a-1)(3a+4)} = \frac{5(a+4)}{a-1} \cdot \frac{(a-1)(3a+4)}{5(a+4)(a-2)}$

6. Сократим одинаковые множители $5$, $(a+4)$ и $(a-1)$:

$\frac{\cancel{5}\cancel{(a+4)}}{\cancel{a-1}} \cdot \frac{\cancel{(a-1)}(3a+4)}{\cancel{5}\cancel{(a+4)}(a-2)} = \frac{3a+4}{a-2}$

Ответ: $\frac{3a+4}{a-2}$