Номер 32.42, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.42, страница 184.

Условие.

32.42 Дано уравнение $x^2 - (p + 1)x + (2p^2 - 9p - 12) = 0$. Известно, что произведение его корней равно $-21$. Найдите значения параметра $p$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Дано квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:

$a = 1$

$b = -(p + 1)$

$c = 2p^2 - 9p - 12$

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения (где $a=1$) произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену $c$.

$x_1 \cdot x_2 = c$

Для нашего уравнения это означает:

$x_1 \cdot x_2 = 2p^2 - 9p - 12$

В условии задачи сказано, что произведение корней равно -21. Приравняем выражение для произведения корней к этому значению:

$2p^2 - 9p - 12 = -21$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно параметра $p$. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2p^2 - 9p - 12 + 21 = 0$

$2p^2 - 9p + 9 = 0$

Мы получили новое квадратное уравнение для $p$. Решим его, найдя дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$

Поскольку дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем значения $p$:

$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Важно убедиться, что при найденных значениях $p$ исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого его собственный дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).

$D_x = (-(p+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p^2 - 9p - 12) \ge 0$

$(p+1)^2 - 4(2p^2 - 9p - 12) \ge 0$

$p^2 + 2p + 1 - 8p^2 + 36p + 48 \ge 0$

$-7p^2 + 38p + 49 \ge 0$

Проверим выполнение этого неравенства для каждого найденного значения $p$.

1. При $p = 3$:

$-7(3)^2 + 38(3) + 49 = -7 \cdot 9 + 114 + 49 = -63 + 163 = 100$

$100 \ge 0$. Условие выполняется.

2. При $p = 1.5$:

$-7(1.5)^2 + 38(1.5) + 49 = -7(2.25) + 57 + 49 = -15.75 + 106 = 90.25$

$90.25 \ge 0$. Условие также выполняется.

Оба значения параметра $p$ удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: $p = 3$ или $p = 1.5$.