Номер 32.44, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.44, страница 184.

Условие.

32.44 При некотором значении параметра $p$ корни квадратного уравнения $2px^2 + 5x + p + 1 = 0$ являются взаимно обратными числами. Найдите эти корни.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Дано квадратное уравнение $2px^2 + 5x + p + 1 = 0$.

По условию, корни этого уравнения, обозначим их $x_1$ и $x_2$, являются взаимно обратными числами. Это означает, что их произведение равно 1: $x_1 \cdot x_2 = 1$.

Для приведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ по теореме Виета произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 2p$, $b = 5$, $c = p + 1$. Чтобы уравнение было квадратным, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, то есть $2p \neq 0$, откуда $p \neq 0$.

Применим теорему Виета к нашему уравнению: $x_1 \cdot x_2 = \frac{p+1}{2p}$.

Так как мы знаем, что произведение корней равно 1, мы можем составить уравнение для нахождения параметра $p$: $\frac{p+1}{2p} = 1$.

Решим это уравнение относительно $p$: $p + 1 = 2p$ $2p - p = 1$ $p = 1$.

Это значение удовлетворяет условию $p \neq 0$. Теперь необходимо проверить, имеет ли уравнение действительные корни при $p=1$. Для этого найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2p)(p+1) = 25 - 8p(p+1)$. Подставим $p=1$: $D = 25 - 8(1)(1+1) = 25 - 8 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Поскольку $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует условию задачи.

Теперь, зная значение $p=1$, подставим его в исходное уравнение, чтобы найти корни: $2(1)x^2 + 5x + 1 + 1 = 0$ $2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Решим получившееся квадратное уравнение, используя формулу для корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

Найдем оба корня: $x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ $x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

Корни уравнения равны $-2$ и $-\frac{1}{2}$. Они действительно являются взаимно обратными числами, так как $(-2) \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$.

Ответ: $-2$ и $-\frac{1}{2}$.