Номер 33.6, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.6, страница 187.

Условие.

33.6 Решите уравнение:

а) $\sqrt{7x - 4} = \sqrt{5x + 2};$

б) $\sqrt{2x - 5} = \sqrt{4x - 7};$

в) $\sqrt{3x + 4} = \sqrt{5x + 2};$

г) $\sqrt{3x + 1} = \sqrt{2x - 3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{7x - 4} = \sqrt{5x + 2}$

Для решения иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ необходимо возвести обе части в квадрат. Это преобразование будет равносильным при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} 7x - 4 \ge 0 \\ 5x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 7x \ge 4 \\ 5x \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{4}{7} \\ x \ge -\frac{2}{5} \end{cases}$

Общим решением системы является более сильное неравенство, то есть $x \ge \frac{4}{7}$.

Теперь решим само уравнение, возведя обе части в квадрат:

$(\sqrt{7x - 4})^2 = (\sqrt{5x + 2})^2$

$7x - 4 = 5x + 2$

$7x - 5x = 2 + 4$

$2x = 6$

$x = 3$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Условие $3 \ge \frac{4}{7}$ выполняется. Следовательно, $x=3$ является решением уравнения.

Ответ: 3

б) $\sqrt{2x - 5} = \sqrt{4x - 7}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 2x - 5 \ge 0 \\ 4x - 7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 5 \\ 4x \ge 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{5}{2} \\ x \ge \frac{7}{4} \end{cases}$

Сравним дроби: $\frac{5}{2} = 2.5$ и $\frac{7}{4} = 1.75$. Так как $2.5 > 1.75$, то ОДЗ определяется неравенством $x \ge \frac{5}{2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x - 5})^2 = (\sqrt{4x - 7})^2$

$2x - 5 = 4x - 7$

$7 - 5 = 4x - 2x$

$2 = 2x$

$x = 1$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Условие $1 \ge \frac{5}{2}$ (или $1 \ge 2.5$) не выполняется. Следовательно, $x=1$ — посторонний корень, и уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

в) $\sqrt{3x + 4} = \sqrt{5x + 2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x + 4 \ge 0 \\ 5x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -4 \\ 5x \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{4}{3} \\ x \ge -\frac{2}{5} \end{cases}$

Сравним дроби: $-\frac{4}{3} \approx -1.33$ и $-\frac{2}{5} = -0.4$. Так как $-0.4 > -1.33$, то ОДЗ определяется неравенством $x \ge -\frac{2}{5}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x + 4})^2 = (\sqrt{5x + 2})^2$

$3x + 4 = 5x + 2$

$4 - 2 = 5x - 3x$

$2 = 2x$

$x = 1$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Условие $1 \ge -\frac{2}{5}$ выполняется. Следовательно, $x=1$ является решением.

Ответ: 1

г) $\sqrt{3x + 1} = \sqrt{2x - 3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ 2x - 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -1 \\ 2x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{1}{3} \\ x \ge \frac{3}{2} \end{cases}$

Так как $\frac{3}{2} > -\frac{1}{3}$, то ОДЗ определяется неравенством $x \ge \frac{3}{2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x + 1})^2 = (\sqrt{2x - 3})^2$

$3x + 1 = 2x - 3$

$3x - 2x = -3 - 1$

$x = -4$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Условие $-4 \ge \frac{3}{2}$ (или $-4 \ge 1.5$) не выполняется. Следовательно, $x=-4$ — посторонний корень, и уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет