Номер 33.10, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.10, страница 187.

Условие.

Используя метод введения новой переменной, решите уравнение:

33.10 a) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0;$

б) $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0;$

в) $x - 7\sqrt{x} + 12 = 0;$

г) $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим уравнение $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Это уравнение можно свести к квадратному с помощью введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, на новую переменную накладывается условие $t \ge 0$.

Так как $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$, исходное уравнение принимает вид:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Отсюда находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Оба найденных значения для $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$, поэтому оба являются решениями квадратного уравнения.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. При $t = 2$:
$\sqrt{x} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 2^2 = 4$.

2. При $t = 4$:
$\sqrt{x} = 4$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 4^2 = 16$.

Оба корня ($x=4$ и $x=16$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; 16$.

б) Решим уравнение $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену: $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение преобразуется к виду:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни этого уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполняем обратную замену:

1. $\sqrt{x} = 2 \implies x = 2^2 = 4$.

2. $\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.

Оба значения входят в ОДЗ.
Ответ: $4; 9$.

в) Решим уравнение $x - 7\sqrt{x} + 12 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Корни этого уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполняем обратную замену:

1. $\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.

2. $\sqrt{x} = 4 \implies x = 4^2 = 16$.

Оба значения входят в ОДЗ.
Ответ: $9; 16$.

г) Решим уравнение $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполняем обратную замену:

1. $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1^2 = 1$.

2. $\sqrt{x} = 2 \implies x = 2^2 = 4$.

Оба значения входят в ОДЗ.
Ответ: $1; 4$.