Номер 33.14, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.14, страница 188.

Условие.

Выясните, равносильны ли уравнения:

33.14 а) $\sqrt{x+1}=2$ и $x-2=1$;

б) $\sqrt{2x+1}=3$ и $x^2=16$;

в) $\sqrt{5-x}=3$ и $x^2=16$;

г) $\sqrt{3x+4}=5$ и $2(x-3)=15-x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы выяснить, равносильны ли уравнения, нужно найти их корни (множества решений) и сравнить их. Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.

1. Решим первое уравнение: $\sqrt{x+1} = 2$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{x+1})^2 = 2^2$
$x+1 = 4$
$x = 4 - 1$
$x = 3$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $3 \ge -1$. Да, удовлетворяет. Множество решений первого уравнения: $\{3\}$.

2. Решим второе уравнение: $x - 2 = 1$.
Это простое линейное уравнение.
$x = 1 + 2$
$x = 3$
Множество решений второго уравнения: $\{3\}$.

3. Сравним множества решений.
Множества решений обоих уравнений совпадают ($\{3\}$ и $\{3\}$). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: уравнения равносильны.

б) 1. Решим первое уравнение: $\sqrt{2x+1} = 3$.
ОДЗ: $2x+1 \ge 0$, откуда $2x \ge -1$, $x \ge -0.5$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x+1})^2 = 3^2$
$2x+1 = 9$
$2x = 8$
$x = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge -0.5$). Множество решений первого уравнения: $\{4\}$.

2. Решим второе уравнение: $x^2 = 16$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Множество решений второго уравнения: $\{-4, 4\}$.

3. Сравним множества решений.
Множество решений первого уравнения $\{4\}$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\{-4, 4\}$. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: уравнения не равносильны.

в) 1. Решим первое уравнение: $\sqrt{5-x} = 3$.
ОДЗ: $5-x \ge 0$, откуда $x \le 5$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{5-x})^2 = 3^2$
$5-x = 9$
$-x = 9 - 5$
$-x = 4$
$x = -4$
Корень $x=-4$ удовлетворяет ОДЗ ($-4 \le 5$). Множество решений первого уравнения: $\{-4\}$.

2. Решим второе уравнение: $x^2 = 16$.
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Множество решений второго уравнения: $\{-4, 4\}$.

3. Сравним множества решений.
Множество решений первого уравнения $\{-4\}$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\{-4, 4\}$. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: уравнения не равносильны.

г) 1. Решим первое уравнение: $\sqrt{3x+4} = 5$.
ОДЗ: $3x+4 \ge 0$, откуда $3x \ge -4$, $x \ge -\frac{4}{3}$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x+4})^2 = 5^2$
$3x+4 = 25$
$3x = 21$
$x = 7$
Корень $x=7$ удовлетворяет ОДЗ ($7 \ge -\frac{4}{3}$). Множество решений первого уравнения: $\{7\}$.

2. Решим второе уравнение: $2(x-3) = 15 - x$.
Раскроем скобки в левой части:
$2x - 6 = 15 - x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:
$2x + x = 15 + 6$
$3x = 21$
$x = 7$
Множество решений второго уравнения: $\{7\}$.

3. Сравним множества решений.
Множества решений обоих уравнений совпадают ($\{7\}$ и $\{7\}$). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: уравнения равносильны.