Номер 33.18, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.18, страница 188.

Условие.

33.18 a) $ \sqrt{2x^2 + 3x + 1} = x + 1; $

б) $ \sqrt{5x^2 - 3x + 2} = x - 3; $

в) $ \sqrt{x^2 + x + 1} = x + 2; $

г) $ \sqrt{3x^2 + x + 30} = x - 5. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{2x^2 + 3x + 1} = x + 1$
Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение равно квадрату правой части, а правая часть неотрицательна:
$\begin{cases} 2x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^2, \\ x + 1 \ge 0. \end{cases}$
Сначала решим первое уравнение системы, возведя правую часть в квадрат и упростив выражение:
$2x^2 + 3x + 1 = x^2 + 2x + 1$
$2x^2 - x^2 + 3x - 2x + 1 - 1 = 0$
$x^2 + x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти корни второму условию системы: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Проверяем корень $x_1 = 0$: $0 \ge -1$. Условие выполняется, следовательно, $x=0$ является решением.
Проверяем корень $x_2 = -1$: $-1 \ge -1$. Условие выполняется, следовательно, $x=-1$ является решением.
Оба корня подходят.
Ответ: $-1; 0$.

б) $\sqrt{5x^2 - 3x + 2} = x - 3$
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 5x^2 - 3x + 2 = (x - 3)^2, \\ x - 3 \ge 0. \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$5x^2 - 3x + 2 = x^2 - 6x + 9$
$5x^2 - x^2 - 3x + 6x + 2 - 9 = 0$
$4x^2 + 3x - 7 = 0$
Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4} = -1.75$
$x_2 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Теперь проверим выполнение условия $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
Для $x_1 = -1.75$: $-1.75 \ge 3$ — неверно.
Для $x_2 = 1$: $1 \ge 3$ — неверно.
Оба найденных корня не удовлетворяют условию $x \ge 3$, следовательно, являются посторонними.
Ответ: нет корней.

в) $\sqrt{x^2 + x + 1} = x + 2$
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + x + 1 = (x + 2)^2, \\ x + 2 \ge 0. \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$x^2 + x + 1 = x^2 + 4x + 4$
$x - 4x = 4 - 1$
$-3x = 3$
$x = -1$
Проверим выполнение условия $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Для $x = -1$: $-1 \ge -2$ — верно.
Найденный корень удовлетворяет условию, следовательно, он является решением исходного уравнения.
Ответ: $-1$.

г) $\sqrt{3x^2 + x + 30} = x - 5$
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3x^2 + x + 30 = (x - 5)^2, \\ x - 5 \ge 0. \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$3x^2 + x + 30 = x^2 - 10x + 25$
$3x^2 - x^2 + x + 10x + 30 - 25 = 0$
$2x^2 + 11x + 5 = 0$
Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 = 9^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-11 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$
$x_2 = \frac{-11 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$
Теперь проверим выполнение условия $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.
Для $x_1 = -5$: $-5 \ge 5$ — неверно.
Для $x_2 = -0.5$: $-0.5 \ge 5$ — неверно.
Оба найденных корня не удовлетворяют условию $x \ge 5$, следовательно, являются посторонними.
Ответ: нет корней.