Номер 33.21, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.21, страница 189.

Условие.

33.21 a) $\sqrt{4 - 2x} + \sqrt{2 + x} = \sqrt{2x}$;

б) $\sqrt{x + 7} = \sqrt{3x + 19} - \sqrt{x + 2}$;

в) $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4} = 2\sqrt{x}$;

г) $\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3} = \sqrt{6x - 11}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{4-2x} + \sqrt{2+x} = \sqrt{2x}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

• $4-2x \ge 0 \implies 2x \le 4 \implies x \le 2$
• $2+x \ge 0 \implies x \ge -2$
• $2x \ge 0 \implies x \ge 0$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{4-2x} + \sqrt{2+x})^2 = (\sqrt{2x})^2$
$(4-2x) + 2\sqrt{(4-2x)(2+x)} + (2+x) = 2x$
$6-x + 2\sqrt{8+4x-4x-2x^2} = 2x$
$6-x + 2\sqrt{8-2x^2} = 2x$

3. Изолируем радикал:
$2\sqrt{8-2x^2} = 2x - (6-x)$
$2\sqrt{8-2x^2} = 3x-6$

Так как левая часть уравнения неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной:
$3x-6 \ge 0 \implies 3x \ge 6 \implies x \ge 2$.
С учетом ОДЗ ($0 \le x \le 2$), единственное возможное значение для $x$ - это $x=2$. Проверим его.

4. Продолжим решение, возведя обе части последнего уравнения в квадрат:
$(2\sqrt{8-2x^2})^2 = (3x-6)^2$
$4(8-2x^2) = 9x^2 - 36x + 36$
$32 - 8x^2 = 9x^2 - 36x + 36$
$17x^2 - 36x + 4 = 0$

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-36)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 4 = 1296 - 272 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{36 - 32}{2 \cdot 17} = \frac{4}{34} = \frac{2}{17}$
$x_2 = \frac{36 + 32}{2 \cdot 17} = \frac{68}{34} = 2$

6. Проверим найденные корни.
Корень $x_1 = 2/17$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет и ОДЗ, и условию $x \ge 2$. Подставим его в исходное уравнение:
$\sqrt{4-2(2)} + \sqrt{2+2} = \sqrt{2(2)}$
$\sqrt{0} + \sqrt{4} = \sqrt{4}$
$0 + 2 = 2$
$2=2$. Верно.

Ответ: $2$

б) $\sqrt{x+7} = \sqrt{3x+19} - \sqrt{x+2}$

1. Перенесем один из корней в левую часть для удобства:
$\sqrt{x+7} + \sqrt{x+2} = \sqrt{3x+19}$

2. Найдем ОДЗ:

• $x+7 \ge 0 \implies x \ge -7$
• $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
• $3x+19 \ge 0 \implies 3x \ge -19 \implies x \ge -19/3$

Общее ОДЗ: $x \ge -2$.

3. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+7} + \sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{3x+19})^2$
$(x+7) + 2\sqrt{(x+7)(x+2)} + (x+2) = 3x+19$
$2x+9 + 2\sqrt{x^2+9x+14} = 3x+19$

4. Изолируем радикал:
$2\sqrt{x^2+9x+14} = 3x+19 - (2x+9)$
$2\sqrt{x^2+9x+14} = x+10$

Правая часть должна быть неотрицательной: $x+10 \ge 0 \implies x \ge -10$. Это условие не сужает наше ОДЗ ($x \ge -2$).

5. Снова возведем обе части в квадрат:
$(2\sqrt{x^2+9x+14})^2 = (x+10)^2$
$4(x^2+9x+14) = x^2+20x+100$
$4x^2+36x+56 = x^2+20x+100$
$3x^2+16x-44=0$

6. Решим квадратное уравнение:
$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-44) = 256 + 528 = 784 = 28^2$
$x_1 = \frac{-16 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-44}{6} = -\frac{22}{3}$
$x_2 = \frac{-16 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

7. Проверим корни.
Корень $x_1 = -22/3 \approx -7.33$ не входит в ОДЗ ($x \ge -2$), значит, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 2$ входит в ОДЗ. Проверим подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{2+7} = \sqrt{3(2)+19} - \sqrt{2+2}$
$\sqrt{9} = \sqrt{25} - \sqrt{4}$
$3 = 5 - 2$
$3=3$. Верно.

Ответ: $2$

в) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$

1. Найдем ОДЗ:

• $3x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/3$
• $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$
• $x \ge 0$

Общее ОДЗ: $x \ge 4$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x+1} + \sqrt{x-4})^2 = (2\sqrt{x})^2$
$(3x+1) + 2\sqrt{(3x+1)(x-4)} + (x-4) = 4x$
$4x-3 + 2\sqrt{3x^2-11x-4} = 4x$

3. Изолируем радикал:
$2\sqrt{3x^2-11x-4} = 4x - (4x-3)$
$2\sqrt{3x^2-11x-4} = 3$

4. Снова возведем в квадрат:
$(2\sqrt{3x^2-11x-4})^2 = 3^2$
$4(3x^2-11x-4) = 9$
$12x^2-44x-16 = 9$
$12x^2-44x-25 = 0$

5. Решим квадратное уравнение:
$D = (-44)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-25) = 1936 + 1200 = 3136 = 56^2$
$x_1 = \frac{44 - 56}{2 \cdot 12} = \frac{-12}{24} = -\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{44 + 56}{2 \cdot 12} = \frac{100}{24} = \frac{25}{6}$

6. Проверим корни.
Корень $x_1 = -1/2$ не входит в ОДЗ ($x \ge 4$), значит, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 25/6 = 4 \frac{1}{6}$ входит в ОДЗ. Проверим подстановкой:
$\sqrt{3(\frac{25}{6})+1} + \sqrt{\frac{25}{6}-4} = 2\sqrt{\frac{25}{6}}$
$\sqrt{\frac{25}{2}+1} + \sqrt{\frac{25-24}{6}} = 2\frac{5}{\sqrt{6}}$
$\sqrt{\frac{27}{2}} + \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$
$\sqrt{\frac{81}{6}} + \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$
$\frac{9}{\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$
$\frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$. Верно.

Ответ: $\frac{25}{6}$

г) $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{6x-11}$

1. Найдем ОДЗ:

• $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
• $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
• $6x-11 \ge 0 \implies 6x \ge 11 \implies x \ge 11/6 \approx 1.83$

Общее ОДЗ: $x \ge 2$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{6x-11})^2$
$(x-2) + 2\sqrt{(x-2)(x+3)} + (x+3) = 6x-11$
$2x+1 + 2\sqrt{x^2+x-6} = 6x-11$

3. Изолируем радикал:
$2\sqrt{x^2+x-6} = 6x-11 - (2x+1)$
$2\sqrt{x^2+x-6} = 4x-12$
$\sqrt{x^2+x-6} = 2x-6$

Правая часть должна быть неотрицательной: $2x-6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3$.
С учетом ОДЗ, новое, более строгое условие: $x \ge 3$.

4. Снова возведем в квадрат:
$(\sqrt{x^2+x-6})^2 = (2x-6)^2$
$x^2+x-6 = 4x^2 - 24x + 36$
$3x^2-25x+42=0$

5. Решим квадратное уравнение:
$D = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 42 = 625 - 504 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{25 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{25 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$

6. Проверим корни.
Корень $x_1 = 7/3 \approx 2.33$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 3$. Проверим подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{6-2} + \sqrt{6+3} = \sqrt{6(6)-11}$
$\sqrt{4} + \sqrt{9} = \sqrt{36-11}$
$2 + 3 = \sqrt{25}$
$5=5$. Верно.

Ответ: $6$