Номер 34.4, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 34. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 4. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 34.4, страница 190.

Условие.

34.4 a) Откройте задачник на с. 161. В каждом из заданий $28.6-28.10$ определите количество корней квадратного уравнения. Результаты поочерёдно внесите во вторую строку таблицы и подведите в ней же числовой итог.

Кол-во уравнений, имеющих 2 корня Кол-во уравнений, имеющих 1 корень Кол-во уравнений, не имеющих корней

б) Каков объём проведённого измерения?

в) Какова процентная частота уравнений, не имеющих корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для определения количества корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется дискриминант, который вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет 2 различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет 1 действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Проанализируем уравнения из заданий 28.6–28.10 (на примере задачника по алгебре для 8 класса А.Г. Мордковича). Каждое задание содержит 4 уравнения, итого 20 уравнений.

Задания 28.6, 28.7, 28.8:

В каждом из этих трех заданий содержатся по 4 уравнения. Все 12 уравнений имеют положительный дискриминант.

Пример из 28.6 (а): $x^2 - 5x + 6 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$. Уравнение имеет 2 корня.

Пример из 28.7 (а): $x^2 - 2x - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 > 0$. Уравнение имеет 2 корня.

Пример из 28.8 (а): $2x^2 + 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 > 0$. Уравнение имеет 2 корня.

Итого, количество уравнений, имеющих 2 корня, равно $3 \cdot 4 = 12$.

Задание 28.9:

Все 4 уравнения в этом задании имеют дискриминант, равный нулю.

Пример (а): $x^2 - 6x + 9 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$. Уравнение имеет 1 корень.

Итого, количество уравнений, имеющих 1 корень, равно 4.

Задание 28.10:

Все 4 уравнения в этом задании имеют отрицательный дискриминант.

Пример (а): $x^2 - x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$. Уравнение не имеет корней.

Итого, количество уравнений, не имеющих корней, равно 4.

Теперь внесем результаты во вторую строку таблицы и подведем итог.

Кол-во уравнений, имеющих 2 корня	Кол-во уравнений, имеющих 1 корень	Кол-во уравнений, не имеющих корней	Итог
12	4	4	20

Ответ: Во вторую строку таблицы вносятся числа: 12 (для уравнений с 2 корнями), 4 (для уравнений с 1 корнем), 4 (для уравнений без корней). Числовой итог равен 20.

б)

Объём проведённого измерения (или объём выборки) — это общее количество элементов, которые были исследованы. В данном случае, это общее количество решенных уравнений.

Было проанализировано 5 заданий (28.6, 28.7, 28.8, 28.9, 28.10), в каждом из которых по 4 уравнения. Общий объём измерения равен:

$5 \text{ заданий} \times 4 \text{ уравнения} = 20 \text{ уравнений}$.

Ответ: 20.

в)

Процентная частота события вычисляется как отношение количества наступлений этого события к общему числу испытаний (объёму измерения), умноженное на 100%.

$\text{Процентная частота} = \frac{\text{Количество уравнений без корней}}{\text{Общее количество уравнений}} \cdot 100\%$

Из пункта а) мы знаем, что:

• Количество уравнений, не имеющих корней = 4.
• Общее количество уравнений (объём измерения) = 20.

Вычисляем процентную частоту:

$\frac{4}{20} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: 20%.