Номер 33.24, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.24, страница 189.

Условие.

33.24 a) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2.5;$

б) $\sqrt{\frac{x}{x-1}} - 2.5 = 3\sqrt{1 - \frac{1}{x}};$

в) $\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} + \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} = \frac{10}{3};$

г) $4\sqrt{3 - \frac{1}{x}} - \sqrt{\frac{x}{3x-1}} = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2,5$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что подкоренное выражение должно быть строго положительным (так как оно также находится в знаменателе под корнем в другом слагаемом). Таким образом, $\frac{3x+2}{2x-3} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -2/3) \cup (3/2; +\infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}$. Поскольку корень арифметический, $y > 0$. Тогда второе слагаемое в уравнении равно $\frac{1}{y}$. Уравнение принимает вид:

$y + \frac{1}{y} = 2,5$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и решим уравнение относительно $y$:

$y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2y$, чтобы избавиться от знаменателей:

$2y^2 + 2 = 5y$

$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Дискриминант квадратного уравнения $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Находим корни для $y$: $y_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Оба корня положительны и удовлетворяют условию $y > 0$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = \frac{1}{2}$:

$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = \frac{1}{2}$

Возводим обе части в квадрат:

$\frac{3x+2}{2x-3} = \frac{1}{4}$

$4(3x+2) = 1(2x-3)$

$12x + 8 = 2x - 3$

$10x = -11 \implies x_1 = -1,1$.

Проверяем по ОДЗ: $-1,1 < -2/3$, корень подходит.

2. Если $y = 2$:

$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = 2$

Возводим обе части в квадрат:

$\frac{3x+2}{2x-3} = 4$

$3x+2 = 4(2x-3)$

$3x+2 = 8x - 12$

$14 = 5x \implies x_2 = \frac{14}{5} = 2,8$.

Проверяем по ОДЗ: $2,8 > 3/2$, корень подходит.

Ответ: $x_1 = -1,1; x_2 = 2,8$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x}{x-1}} - 2,5 = 3\sqrt{1 - \frac{1}{x}}$.

Сначала преобразуем выражение под вторым корнем: $\sqrt{1 - \frac{1}{x}} = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt{\frac{x}{x-1}} - 2,5 = 3\sqrt{\frac{x-1}{x}}$.

ОДЗ: $\frac{x}{x-1} > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$, где $y > 0$. Тогда $\sqrt{\frac{x-1}{x}} = \frac{1}{y}$.

Уравнение с новой переменной: $y - 2,5 = \frac{3}{y}$.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{y}$

Умножим обе части на $2y$:

$2y^2 - 5y = 6$

$2y^2 - 5y - 6 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 25 + 48 = 73$.

Корни для $y$: $y = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{4}$.

Так как по условию замены $y > 0$, выбираем корень со знаком плюс: $y = \frac{5 + \sqrt{73}}{4}$.

Выполняем обратную замену:

$\sqrt{\frac{x}{x-1}} = \frac{5 + \sqrt{73}}{4}$

Возводим обе части в квадрат:

$\frac{x}{x-1} = \left(\frac{5 + \sqrt{73}}{4}\right)^2 = \frac{25 + 10\sqrt{73} + 73}{16} = \frac{98 + 10\sqrt{73}}{16} = \frac{49 + 5\sqrt{73}}{8}$.

Решаем полученное уравнение:

$8x = (x-1)(49 + 5\sqrt{73})$

$8x = x(49 + 5\sqrt{73}) - (49 + 5\sqrt{73})$

$49 + 5\sqrt{73} = x(49 + 5\sqrt{73} - 8)$

$49 + 5\sqrt{73} = x(41 + 5\sqrt{73})$

$x = \frac{49 + 5\sqrt{73}}{41 + 5\sqrt{73}}$.

Данное значение $x > 1$, что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{49 + 5\sqrt{73}}{41 + 5\sqrt{73}}$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} + \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} = \frac{10}{3}$.

ОДЗ: $\frac{x-1}{2x+1} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -1/2) \cup (1; +\infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x-1}{2x+1}}$, где $y > 0$. Тогда уравнение принимает вид:

$y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3}$.

Умножим обе части на $3y$:

$3y^2 + 3 = 10y$

$3y^2 - 10y + 3 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни: $y_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $y_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Оба корня положительны. Выполним обратную замену для каждого.

1. Если $y = \frac{1}{3}$:

$\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} = \frac{1}{3} \implies \frac{x-1}{2x+1} = \frac{1}{9}$

$9(x-1) = 2x+1 \implies 9x - 9 = 2x + 1 \implies 7x = 10 \implies x_1 = \frac{10}{7}$.

Проверяем по ОДЗ: $10/7 \approx 1.43 > 1$, корень подходит.

2. Если $y = 3$:

$\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} = 3 \implies \frac{x-1}{2x+1} = 9$

$x-1 = 9(2x+1) \implies x-1 = 18x + 9 \implies -10 = 17x \implies x_2 = -\frac{10}{17}$.

Проверяем по ОДЗ: $-10/17 \approx -0.588 < -0.5$, корень подходит.

Ответ: $x_1 = \frac{10}{7}; x_2 = -\frac{10}{17}$.

г) Исходное уравнение: $4\sqrt{3 - \frac{1}{x}} - \sqrt{\frac{x}{3x-1}} = 3$.

Преобразуем первое слагаемое: $4\sqrt{3 - \frac{1}{x}} = 4\sqrt{\frac{3x-1}{x}}$.

Уравнение примет вид: $4\sqrt{\frac{3x-1}{x}} - \sqrt{\frac{x}{3x-1}} = 3$.

ОДЗ: $\frac{x}{3x-1} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; 0) \cup (1/3; +\infty)$.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{3x-1}}$, где $y > 0$. Тогда $\sqrt{\frac{3x-1}{x}} = \frac{1}{y}$.

Уравнение принимает вид: $4 \cdot \frac{1}{y} - y = 3$.

Умножим на $y$:

$4 - y^2 = 3y$

$y^2 + 3y - 4 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -4$.

Так как по условию замены $y > 0$, подходит только корень $y=1$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\sqrt{\frac{x}{3x-1}} = 1$

Возводим в квадрат:

$\frac{x}{3x-1} = 1$

$x = 3x-1$

$2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.

Проверяем по ОДЗ: $1/2 > 1/3$, корень подходит.

Ответ: $\frac{1}{2}$.