Номер 33.20, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.20, страница 188.

Условие.

33.20 a) $\sqrt{15 - x} + \sqrt{3 - x} = 6;$

б) $\sqrt{3x + 7} - \sqrt{x + 1} = 2;$

в) $\sqrt{x - 1} - \sqrt{6 - x} = 1;$

г) $\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3} = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{15-x} + \sqrt{3-x} = 6$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:
$15 - x \ge 0 \implies x \le 15$
$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \le 3$.

Теперь решим уравнение. Уединим один из радикалов, чтобы было удобнее возводить в квадрат:
$\sqrt{15-x} = 6 - \sqrt{3-x}$
Возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $6 - \sqrt{3-x} \ge 0$, что означает $\sqrt{3-x} \le 6$. Возведя в квадрат, получим $3-x \le 36$, откуда $x \ge -33$. Итак, решение должно лежать в промежутке $[-33, 3]$.
$(\sqrt{15-x})^2 = (6 - \sqrt{3-x})^2$
$15 - x = 36 - 12\sqrt{3-x} + (3-x)$
$15 - x = 39 - x - 12\sqrt{3-x}$

Упростим полученное выражение и снова уединим радикал:
$12\sqrt{3-x} = 39 - 15$
$12\sqrt{3-x} = 24$
$\sqrt{3-x} = 2$

Возведем обе части в квадрат еще раз:
$(\sqrt{3-x})^2 = 2^2$
$3 - x = 4$
$x = -1$

Проверим, соответствует ли найденный корень $x = -1$ ОДЗ ($x \le 3$) и дополнительному условию ($x \ge -33$). Корень подходит.
Подставим $x = -1$ в исходное уравнение для окончательной проверки:
$\sqrt{15 - (-1)} + \sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$.
$6 = 6$. Равенство верное.

Ответ: $-1$.

б) $\sqrt{3x+7} - \sqrt{x+1} = 2$

Найдем ОДЗ:
$3x + 7 \ge 0 \implies 3x \ge -7 \implies x \ge -7/3$
$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$
Пересечение условий дает ОДЗ: $x \ge -1$.

Уединим один из радикалов:
$\sqrt{3x+7} = 2 + \sqrt{x+1}$
Поскольку правая часть уравнения в ОДЗ всегда положительна, можно без дополнительных условий возводить обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x+7})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$
$3x+7 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$
$3x+7 = 5 + x + 4\sqrt{x+1}$

Упростим и уединим оставшийся радикал:
$2x + 2 = 4\sqrt{x+1}$
$x + 1 = 2\sqrt{x+1}$

Возведем обе части в квадрат. Условие $x+1 \ge 0$ совпадает с нашим ОДЗ.
$(x+1)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$
$(x+1)^2 = 4(x+1)$
$(x+1)^2 - 4(x+1) = 0$
$(x+1)(x+1-4) = 0$
$(x+1)(x-3) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($x \ge -1$). Проверим их подстановкой в исходное уравнение.
Для $x = -1$: $\sqrt{3(-1)+7} - \sqrt{-1+1} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2 - 0 = 2$. Верно.
Для $x = 3$: $\sqrt{3(3)+7} - \sqrt{3+1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$. Верно.

Ответ: $-1; 3$.

в) $\sqrt{x-1} - \sqrt{6-x} = 1$

Найдем ОДЗ:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$
$6 - x \ge 0 \implies x \le 6$
ОДЗ: $x \in [1, 6]$.

Уединим один из радикалов:
$\sqrt{x-1} = 1 + \sqrt{6-x}$
Правая часть всегда положительна. Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (1 + \sqrt{6-x})^2$
$x - 1 = 1 + 2\sqrt{6-x} + (6-x)$
$x - 1 = 7 - x + 2\sqrt{6-x}$

Упростим и уединим радикал:
$2x - 8 = 2\sqrt{6-x}$
$x - 4 = \sqrt{6-x}$
Для возведения в квадрат необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной: $x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$. С учетом ОДЗ, искомый корень должен лежать в промежутке $[4, 6]$.
Возведем в квадрат:
$(x - 4)^2 = (\sqrt{6-x})^2$
$x^2 - 8x + 16 = 6 - x$
$x^2 - 7x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Проверим корни с учетом условия $x \ge 4$.
$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$, следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 4$. Проверим его подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{5-1} - \sqrt{6-5} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$. Верно.

Ответ: $5$.

г) $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = 2$

Найдем ОДЗ:
$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$
ОДЗ: $x \in [2, \infty)$.

Рассмотрим левую часть уравнения как функцию $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{x+3}$. Так как обе функции $\sqrt{x-2}$ и $\sqrt{x+3}$ являются возрастающими на ОДЗ, их сумма $f(x)$ также является возрастающей функцией.
Найдем наименьшее значение функции $f(x)$ на ее области определения, которое достигается в точке $x=2$:
$f(2) = \sqrt{2-2} + \sqrt{2+3} = \sqrt{0} + \sqrt{5} = \sqrt{5}$.
Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $\sqrt{5} > 2$.
Это означает, что для любого $x$ из ОДЗ значение левой части уравнения не меньше $\sqrt{5}$ и, следовательно, всегда больше 2.
$\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} \ge \sqrt{5} > 2$.
Равенство $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = 2$ не может быть достигнуто.

Также можно прийти к этому выводу алгебраически. Уединим радикал:
$\sqrt{x+3} = 2 - \sqrt{x-2}$
Возведем в квадрат, при условии $2 - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies \sqrt{x-2} \le 2 \implies x-2 \le 4 \implies x \le 6$.
$x+3 = (2 - \sqrt{x-2})^2$
$x+3 = 4 - 4\sqrt{x-2} + x-2$
$x+3 = 2+x - 4\sqrt{x-2}$
$1 = -4\sqrt{x-2}$
$\sqrt{x-2} = -1/4$
Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.