Номер 34.1, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 34. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 4. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 34.1, страница 189.

Условие.

34.1 Для контрольной работы составляют различные квадратные уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Коэффициент $b$ произвольно выбирают из чисел $-2, -4, -6$, а коэффициент $c$ — из чисел $4, 9$.

а) Нарисуйте дерево вариантов составления таких квадратных уравнений.

б) Сколько всего таких уравнений можно составить?

в) Сколько среди них уравнений, дискриминант которых равен нулю?

г) Сколько среди них уравнений, которые имеют хотя бы один корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Нарисуйте дерево вариантов составления таких квадратных уравнений.

Дерево вариантов можно представить в виде следующей структуры, где на первом уровне выбирается коэффициент $b$, а на втором — коэффициент $c$. Каждая конечная "ветвь" дерева соответствует одному уникальному уравнению.

• При выборе $b = -2$:
  • Если $c = 4$, получаем уравнение: $x^2 - 2x + 4 = 0$
  • Если $c = 9$, получаем уравнение: $x^2 - 2x + 9 = 0$
• При выборе $b = -4$:
  • Если $c = 4$, получаем уравнение: $x^2 - 4x + 4 = 0$
  • Если $c = 9$, получаем уравнение: $x^2 - 4x + 9 = 0$
• При выборе $b = -6$:
  • Если $c = 4$, получаем уравнение: $x^2 - 6x + 4 = 0$
  • Если $c = 9$, получаем уравнение: $x^2 - 6x + 9 = 0$

б) Сколько всего таких уравнений можно составить?

Чтобы найти общее количество возможных уравнений, нужно перемножить количество вариантов выбора для каждого коэффициента. Есть 3 варианта для выбора коэффициента $b$ (числа -2, -4, -6) и 2 варианта для выбора коэффициента $c$ (числа 4, 9).
Следовательно, общее количество уравнений равно произведению числа вариантов:
$3 \times 2 = 6$.

Ответ: 6 уравнений.

в) Сколько среди них уравнений, дискриминант которых равен нулю?

Дискриминант $D$ квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ находится по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, поэтому формула упрощается до $D = b^2 - 4c$. Уравнение имеет ровно один корень, когда дискриминант равен нулю ($D=0$), то есть когда выполняется равенство $b^2 = 4c$.

Проверим все возможные пары $(b, c)$:

• Если $b = -2$, то $b^2 = 4$. Тогда $4 = 4c \implies c = 1$. Такого значения для $c$ нет.
• Если $b = -4$, то $b^2 = 16$. Тогда $16 = 4c \implies c = 4$. Такое значение для $c$ есть. Уравнение: $x^2 - 4x + 4 = 0$.
• Если $b = -6$, то $b^2 = 36$. Тогда $36 = 4c \implies c = 9$. Такое значение для $c$ есть. Уравнение: $x^2 - 6x + 9 = 0$.

Таким образом, существует два уравнения с дискриминантом, равным нулю.

Ответ: 2 уравнения.

г) Сколько среди них уравнений, которые имеют хотя бы один корень?

Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ не отрицателен, то есть $D \ge 0$. Это означает, что $b^2 - 4c \ge 0$ или $b^2 \ge 4c$.

Давайте проверим это условие для всех 6 возможных уравнений:

1. $b = -2, c = 4$: $D = (-2)^2 - 4(4) = 4 - 16 = -12$. $D < 0$, корней нет.
2. $b = -2, c = 9$: $D = (-2)^2 - 4(9) = 4 - 36 = -32$. $D < 0$, корней нет.
3. $b = -4, c = 4$: $D = (-4)^2 - 4(4) = 16 - 16 = 0$. $D = 0$, есть один корень.
4. $b = -4, c = 9$: $D = (-4)^2 - 4(9) = 16 - 36 = -20$. $D < 0$, корней нет.
5. $b = -6, c = 4$: $D = (-6)^2 - 4(4) = 36 - 16 = 20$. $D > 0$, есть два корня.
6. $b = -6, c = 9$: $D = (-6)^2 - 4(9) = 36 - 36 = 0$. $D = 0$, есть один корень.

Условия $D \ge 0$ выполняются для трех уравнений.

Ответ: 3 уравнения.