Номер 1, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 1. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 1, страница 192.

Условие.

1 Сократите дробь $ \frac{2x^2 + 5x - 7}{x^2 - 8x + 7} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы сократить дробь $\frac{2x^2 + 5x - 7}{x^2 - 8x + 7}$, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители. Разложение квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ на множители выполняется по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.

Сначала разложим на множители числитель $2x^2 + 5x - 7$. Для этого найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 7 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 9}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 9}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$.
Таким образом, разложение числителя на множители выглядит так:
$2x^2 + 5x - 7 = 2(x - 1)(x - (-\frac{7}{2})) = 2(x - 1)(x + \frac{7}{2}) = (x - 1)(2x + 7)$.

Далее разложим на множители знаменатель $x^2 - 8x + 7$. Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. То есть, $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 7$.
Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.
Следовательно, разложение знаменателя на множители:
$x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и произведем сокращение на общий множитель $(x - 1)$:
$\frac{2x^2 + 5x - 7}{x^2 - 8x + 7} = \frac{(x - 1)(2x + 7)}{(x - 1)(x - 7)}$.
Сокращение возможно при условии, что $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
$\frac{\cancel{(x - 1)}(2x + 7)}{\cancel{(x - 1)}(x - 7)} = \frac{2x + 7}{x - 7}$.

Ответ: $\frac{2x + 7}{x - 7}$.