Номер 34.6, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 34. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 4. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 34.6, страница 191.

Условие.

34.6 Вот что прочёл богатырь на камне у распутья: «Налево, прямо или направо пойдёшь — к таким же распутьям придёшь, а от каждого из них опять к таким же распутьям придёшь, но потом всё равно в тридевятое царство попадёшь».

а) По скольким путям богатырь может доехать до тридевятого царства?

б) Сколько имеется путей, по которым придётся один раз поворачивать влево и два раза — вправо?

в) Сколько имеется путей, по которым придётся один раз поворачивать вправо и два раза — влево?

г) Сколько имеется путей, по которым придётся поворачивать ровно два раза?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Эта задача описывает процесс принятия решений, который можно представить в виде дерева. У богатыря есть три распутья подряд, и на каждом он делает выбор из трёх вариантов: налево (Л), прямо (П) или направо (В). Путь до тридевятого царства — это последовательность из трёх таких выборов.

а) По скольким путям богатырь может доехать до тридевятого царства?
На первом распутье у богатыря есть 3 варианта. На втором распутье для каждого из предыдущих вариантов снова есть 3 варианта, что даёт $3 \times 3 = 9$ комбинаций. На третьем распутье для каждого из этих 9 путей есть ещё 3 варианта. Общее количество путей вычисляется как произведение количества вариантов на каждом этапе: $N = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$.
Ответ: 27

б) Сколько имеется путей, по которым придётся один раз поворачивать влево и два раза — вправо?
Такой путь должен состоять из одной буквы Л (налево) и двух букв В (вправо). Нам нужно найти количество различных последовательностей из этих трёх букв. Это задача на перестановки с повторениями. Возможные последовательности: ЛВВ, ВЛВ, ВВЛ. Их количество можно рассчитать по формуле числа перестановок с повторениями: $P = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \cdot (2 \times 1)} = 3$.
Ответ: 3

в) Сколько имеется путей, по которым придётся один раз поворачивать вправо и два раза — влево?
Эта задача аналогична предыдущей. Путь должен состоять из одной буквы В (вправо) и двух букв Л (влево). Возможные последовательности: ВЛЛ, ЛВЛ, ЛЛВ. Количество таких путей также равно: $P = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \cdot (2 \times 1)} = 3$.
Ответ: 3

г) Сколько имеется путей, по которым придётся поворачивать ровно два раза?
«Поворот» — это выбор «налево» (Л) или «направо» (В). Ход «прямо» (П) поворотом не считается. Следовательно, путь должен состоять из двух поворотов (Л или В) и одного движения прямо (П). Рассмотрим все возможные комбинации поворотов:
1. Два поворота налево и один раз прямо (Л, Л, П). Количество уникальных перестановок этих ходов: $\frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$. (Пути: ЛЛП, ЛПЛ, ПЛЛ).
2. Два поворота направо и один раз прямо (В, В, П). Количество уникальных перестановок: $\frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$. (Пути: ВВП, ВПВ, ПВВ).
3. Один поворот налево, один направо и один раз прямо (Л, В, П). Все три хода различны, поэтому количество перестановок равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. (Пути: ЛВП, ЛПВ, ВЛП, ВПЛ, ПЛВ, ПВЛ).
Суммируем количество путей из всех трёх случаев, чтобы найти общее количество путей с ровно двумя поворотами: $N_{total} = 3 + 3 + 6 = 12$.
Ответ: 12