Страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

34.5 Уравнение относительно переменной $x$ имеет вид $ax + \frac{b}{x} + c = 0,$

где коэффициенты $a, b$ — натуральные числа от 1 до 5 (совпадения допустимы), а коэффициент $c$ равен 6 или 7.

а) Изобразите схематично дерево вариантов составления уравнений такого вида.

б) Сколько различных уравнений такого вида можно составить?

в) Сколько среди них уравнений, у которых $a = b$?

г) Сколько среди них уравнений, у которых $c = 2a$?

В задаче рассматривается уравнение вида $ax + \frac{b}{x} + c = 0$, где коэффициенты принимают следующие значения:

• $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ (5 вариантов)
• $b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ (5 вариантов)
• $c \in \{6, 7\}$ (2 варианта)

а) Изобразите схематично дерево вариантов составления уравнений такого вида.

Дерево вариантов иллюстрирует все возможные комбинации коэффициентов. Построение дерева происходит в три этапа:

1. Выбор коэффициента $a$. Корень дерева имеет 5 основных веток, каждая из которых соответствует одному из пяти возможных значений $a$.
2. Выбор коэффициента $b$. От каждой из 5 веток для $a$ отходят еще по 5 веток, соответствующих пяти возможным значениям $b$.
3. Выбор коэффициента $c$. От каждой из полученных $5 \times 5 = 25$ веток отходят еще по 2 ветки, соответствующие двум возможным значениям $c$.

Каждый полный путь от корня до конечного листа дерева определяет уникальный набор коэффициентов $(a, b, c)$ и, следовательно, уникальное уравнение.

Ниже представлен фрагмент дерева вариантов для случая, когда $a=1$:

• $a=1$
  • $b=1$
    • $c=6 \implies 1x + \frac{1}{x} + 6 = 0$
    • $c=7 \implies 1x + \frac{1}{x} + 7 = 0$
  • $b=2$
    • $c=6 \implies 1x + \frac{2}{x} + 6 = 0$
    • $c=7 \implies 1x + \frac{2}{x} + 7 = 0$
  • $b=3$
    • $c=6 \implies 1x + \frac{3}{x} + 6 = 0$
    • $c=7 \implies 1x + \frac{3}{x} + 7 = 0$
  • $b=4$
    • $c=6 \implies 1x + \frac{4}{x} + 6 = 0$
    • $c=7 \implies 1x + \frac{4}{x} + 7 = 0$
  • $b=5$
    • $c=6 \implies 1x + \frac{5}{x} + 6 = 0$
    • $c=7 \implies 1x + \frac{5}{x} + 7 = 0$

Аналогичные структуры ветвления существуют для $a=2, a=3, a=4$ и $a=5$.

Ответ: Схема дерева вариантов описана и частично изображена выше. Оно состоит из трех уровней ветвления, соответствующих выбору коэффициентов $a, b$ и $c$.

б) Сколько различных уравнений такого вида можно составить?

Для нахождения общего числа различных уравнений воспользуемся комбинаторным правилом произведения. Поскольку выбор каждого коэффициента независим, мы должны перемножить количество вариантов для каждого из них.

Число вариантов для $a$: 5.
Число вариантов для $b$: 5.
Число вариантов для $c$: 2.

Общее количество уравнений $N$ равно: $N = 5 \times 5 \times 2 = 50$.

Ответ: 50 уравнений.

в) Сколько среди них уравнений, у которых $a = b$?

Рассмотрим условие $a = b$. Коэффициенты $a$ и $b$ должны принимать одинаковые значения. Так как $a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$, то возможны следующие пары $(a, b)$: $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)$.

Таким образом, существует 5 вариантов выбора для совпадающих $a$ и $b$. Выбор коэффициента $c$ остается независимым и имеет 2 варианта ($c=6$ или $c=7$).

Количество уравнений, удовлетворяющих условию $a=b$, равно: $N_{a=b} = 5 \times 2 = 10$.

Ответ: 10 уравнений.

г) Сколько среди них уравнений, у которых $c = 2a$?

Рассмотрим условие $c = 2a$. Проверим, какие из допустимых значений $a$ и $c$ удовлетворяют этому равенству.

$a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$c \in \{6, 7\}$

Переберем все возможные значения $a$:

• Если $a=1$, то $c = 2 \times 1 = 2$. Это значение не входит в множество $\{6, 7\}$.
• Если $a=2$, то $c = 2 \times 2 = 4$. Это значение не входит в множество $\{6, 7\}$.
• Если $a=3$, то $c = 2 \times 3 = 6$. Это значение входит в множество $\{6, 7\}$. Значит, пара $(a=3, c=6)$ является решением.
• Если $a=4$, то $c = 2 \times 4 = 8$. Это значение не входит в множество $\{6, 7\}$.
• Если $a=5$, то $c = 2 \times 5 = 10$. Это значение не входит в множество $\{6, 7\}$.

Таким образом, условию $c=2a$ удовлетворяет только одна пара коэффициентов: $a=3$ и $c=6$.

При этом выбор коэффициента $b$ остается независимым и имеет 5 вариантов.

Количество уравнений, удовлетворяющих условию $c=2a$, равно: $N_{c=2a} = 1 \text{ (вариант для пары a и c)} \times 5 \text{ (вариантов для b)} = 5$.

Ответ: 5 уравнений.

34.6 Вот что прочёл богатырь на камне у распутья: «Налево, прямо или направо пойдёшь — к таким же распутьям придёшь, а от каждого из них опять к таким же распутьям придёшь, но потом всё равно в тридевятое царство попадёшь».

а) По скольким путям богатырь может доехать до тридевятого царства?

б) Сколько имеется путей, по которым придётся один раз поворачивать влево и два раза — вправо?

в) Сколько имеется путей, по которым придётся один раз поворачивать вправо и два раза — влево?

г) Сколько имеется путей, по которым придётся поворачивать ровно два раза?

Эта задача описывает процесс принятия решений, который можно представить в виде дерева. У богатыря есть три распутья подряд, и на каждом он делает выбор из трёх вариантов: налево (Л), прямо (П) или направо (В). Путь до тридевятого царства — это последовательность из трёх таких выборов.

а) По скольким путям богатырь может доехать до тридевятого царства?
На первом распутье у богатыря есть 3 варианта. На втором распутье для каждого из предыдущих вариантов снова есть 3 варианта, что даёт $3 \times 3 = 9$ комбинаций. На третьем распутье для каждого из этих 9 путей есть ещё 3 варианта. Общее количество путей вычисляется как произведение количества вариантов на каждом этапе: $N = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$.
Ответ: 27

б) Сколько имеется путей, по которым придётся один раз поворачивать влево и два раза — вправо?
Такой путь должен состоять из одной буквы Л (налево) и двух букв В (вправо). Нам нужно найти количество различных последовательностей из этих трёх букв. Это задача на перестановки с повторениями. Возможные последовательности: ЛВВ, ВЛВ, ВВЛ. Их количество можно рассчитать по формуле числа перестановок с повторениями: $P = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \cdot (2 \times 1)} = 3$.
Ответ: 3

в) Сколько имеется путей, по которым придётся один раз поворачивать вправо и два раза — влево?
Эта задача аналогична предыдущей. Путь должен состоять из одной буквы В (вправо) и двух букв Л (влево). Возможные последовательности: ВЛЛ, ЛВЛ, ЛЛВ. Количество таких путей также равно: $P = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \cdot (2 \times 1)} = 3$.
Ответ: 3

г) Сколько имеется путей, по которым придётся поворачивать ровно два раза?
«Поворот» — это выбор «налево» (Л) или «направо» (В). Ход «прямо» (П) поворотом не считается. Следовательно, путь должен состоять из двух поворотов (Л или В) и одного движения прямо (П). Рассмотрим все возможные комбинации поворотов:
1. Два поворота налево и один раз прямо (Л, Л, П). Количество уникальных перестановок этих ходов: $\frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$. (Пути: ЛЛП, ЛПЛ, ПЛЛ).
2. Два поворота направо и один раз прямо (В, В, П). Количество уникальных перестановок: $\frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$. (Пути: ВВП, ВПВ, ПВВ).
3. Один поворот налево, один направо и один раз прямо (Л, В, П). Все три хода различны, поэтому количество перестановок равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. (Пути: ЛВП, ЛПВ, ВЛП, ВПЛ, ПЛВ, ПВЛ).
Суммируем количество путей из всех трёх случаев, чтобы найти общее количество путей с ровно двумя поворотами: $N_{total} = 3 + 3 + 6 = 12$.
Ответ: 12

34.7 X-файл расположен в директории «Мои документы», где-то в папках A, B, C или D первого уровня. Папка A содержит «подпапки» AA, AB, AC второго уровня. Папки B и D также содержат по три «подпапки»: BA, BB, BC и DA, DB, DC соответственно, а в папке C содержатся «подпапки» CA, CB, CC, CD, CE второго уровня. Каждая из папок второго уровня содержит по 7 папок третьего уровня, кроме папки BC, в которой 8 папок третьего уровня. Все папки третьего уровня содержат только файлы. Пользователь решил найти X-файл прямым перебором всех файлов во всех папках.

а) Изобразите схематично соответствующее дерево вариантов прохождения путей до файла.

б) Сколькими путями можно из папки A дойти до файла?

в) Сколькими путями можно из папки «Мои документы» дойти до файла?

г) Какова вероятность того, что нужный файл окажется в папке C?

а) Для того чтобы схематично изобразить дерево вариантов, представим структуру папок в виде вложенного списка. Корневой каталог — «Мои документы». Папки первого уровня — это A, B, C, D. Папки второго уровня вложены в них, а папки третьего уровня являются конечными точками путей (листьями дерева). Число в скобках указывает, сколько папок третьего уровня содержит соответствующая папка второго уровня.

• Мои документы
  • Папка A
    • Папка AA (7 папок 3-го уровня)
    • Папка AB (7 папок 3-го уровня)
    • Папка AC (7 папок 3-го уровня)
  • Папка B
    • Папка BA (7 папок 3-го уровня)
    • Папка BB (7 папок 3-го уровня)
    • Папка BC (8 папок 3-го уровня)
  • Папка C
    • Папка CA (7 папок 3-го уровня)
    • Папка CB (7 папок 3-го уровня)
    • Папка CC (7 папок 3-го уровня)
    • Папка CD (7 папок 3-го уровня)
    • Папка CE (7 папок 3-го уровня)
  • Папка D
    • Папка DA (7 папок 3-го уровня)
    • Папка DB (7 папок 3-го уровня)
    • Папка DC (7 папок 3-го уровня)

Ответ: Схематичное дерево представлено выше в виде вложенного списка.

б) Чтобы найти количество путей из папки А до файла, нужно посчитать, сколько всего папок третьего уровня находится внутри папки А. Папка А содержит 3 подпапки второго уровня (AA, AB, AC), и каждая из них содержит по 7 папок третьего уровня. Следовательно, общее количество путей равно произведению количества подпапок второго уровня на количество папок третьего уровня в каждой из них.

Количество путей из А = $3 \times 7 = 21$.

Ответ: 21.

в) Чтобы найти общее количество путей из папки «Мои документы» до файла, нужно сложить количество путей, проходящих через каждую из папок первого уровня (A, B, C и D). Это эквивалентно подсчету общего числа папок третьего уровня во всей файловой системе.

• Пути через папку A: В папке А 3 подпапки, в каждой по 7 папок 3-го уровня. Всего $3 \times 7 = 21$ путь.
• Пути через папку B: В папке B 3 подпапки. Две из них (BA, BB) содержат по 7 папок 3-го уровня, а одна (BC) — 8 папок. Всего $2 \times 7 + 8 = 14 + 8 = 22$ пути.
• Пути через папку C: В папке C 5 подпапок, в каждой по 7 папок 3-го уровня. Всего $5 \times 7 = 35$ путей.
• Пути через папку D: В папке D 3 подпапки, в каждой по 7 папок 3-го уровня. Всего $3 \times 7 = 21$ путь.

Общее количество путей = (пути через А) + (пути через B) + (пути через C) + (пути через D).

Общее количество путей = $21 + 22 + 35 + 21 = 99$.

Ответ: 99.

г) Вероятность того, что нужный файл окажется в папке C, определяется как отношение числа возможных расположений файла в папке C (благоприятных исходов) к общему числу всех возможных расположений файла (общему числу исходов). Мы принимаем, что любое расположение файла равновероятно.

Общее число возможных расположений файла (общее количество путей) было найдено в пункте в) и равно 99.

Число возможных расположений файла в папке C (количество путей через C) также было найдено в пункте в) и равно 35.

Вероятность $P(C)$ вычисляется по формуле:

$P(C) = \frac{\text{Количество путей через C}}{\text{Общее количество путей}} = \frac{35}{99}$.

Эта дробь несократима, так как $35 = 5 \times 7$ и $99 = 3^2 \times 11$.

Ответ: $\frac{35}{99}$.