Номер 3, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 1. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 3, страница 192.

Условие.

3. Докажите, что не существует такого значения k, при котором уравнение $x^2 - 2kx + k - 3 = 0$ имело бы только один корень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Данное уравнение $x^2 - 2kx + k - 3 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Квадратное уравнение имеет ровно один (или два совпадающих) действительный корень в том и только в том случае, когда его дискриминант равен нулю.

Выпишем коэффициенты уравнения в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:
$a = 1$
$b = -2k$
$c = k - 3$

Теперь найдем дискриминант $D$ данного уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k - 3) = 4k^2 - 4(k - 3) = 4k^2 - 4k + 12$.

Условие, при котором уравнение имеет один корень, — это $D = 0$. Приравняем полученное выражение для дискриминанта к нулю, чтобы найти соответствующие значения $k$:
$4k^2 - 4k + 12 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $k$. Для упрощения разделим обе его части на 4:
$k^2 - k + 3 = 0$

Чтобы определить, существуют ли действительные значения $k$, удовлетворяющие этому уравнению, найдем его дискриминант (обозначим его $D_k$, чтобы не путать с предыдущим):
$D_k = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.

Так как дискриминант $D_k$ уравнения $k^2 - k + 3 = 0$ отрицателен ($D_k = -11 < 0$), это уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого действительного значения $k$, при котором дискриминант $D$ исходного уравнения $x^2 - 2kx + k - 3 = 0$ обращается в ноль.

Следовательно, исходное уравнение не может иметь ровно один корень ни при каком значении $k$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что условие наличия одного корня (равенство дискриминанта нулю) приводит к уравнению $k^2 - k + 3 = 0$, которое не имеет действительных решений для $k$, поскольку его собственный дискриминант равен -11. Следовательно, не существует такого значения $k$, при котором исходное уравнение имело бы только один корень.