Номер 1, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 2. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 1, страница 192.

Условие.

1 Сократите дробь $ \frac{x^2 + 9x + 8}{3x^2 + 8x + 5} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители. Оба являются квадратными трёхчленами, которые раскладываются по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения.

1. Разложение числителя $x^2 + 9x + 8$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 9x + 8 = 0$.

Для этого воспользуемся дискриминантом:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 7}{2} = -8$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 7}{2} = -1$.

Таким образом, числитель можно разложить на множители следующим образом:

$x^2 + 9x + 8 = (x - (-8))(x - (-1)) = (x + 8)(x + 1)$.

2. Разложение знаменателя $3x^2 + 8x + 5$

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + 8x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 2}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 2}{6} = -1$.

Следовательно, знаменатель можно разложить на множители:

$3x^2 + 8x + 5 = 3(x - (-\frac{5}{3}))(x - (-1)) = 3(x + \frac{5}{3})(x + 1) = (3x + 5)(x + 1)$.

3. Сокращение дроби

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$\frac{x^2 + 9x + 8}{3x^2 + 8x + 5} = \frac{(x + 8)(x + 1)}{(3x + 5)(x + 1)}$.

Сократим общий множитель $(x + 1)$ (при условии, что $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$):

$\frac{(x + 8)\cancel{(x + 1)}}{(3x + 5)\cancel{(x + 1)}} = \frac{x + 8}{3x + 5}$.

Ответ: $\frac{x + 8}{3x + 5}$