Номер 2, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 2. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 2, страница 193.

Условие.

2 Решите уравнение:

a) $x(x + 3) - 4(x - 5) = 7(x + 4) - 8.$

б) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x(x + 3) - 4(x - 5) = 7(x + 4) - 8$

Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки в обеих его частях:

$x \cdot x + x \cdot 3 - 4 \cdot x - 4 \cdot (-5) = 7 \cdot x + 7 \cdot 4 - 8$

$x^2 + 3x - 4x + 20 = 7x + 28 - 8$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$x^2 - x + 20 = 7x + 20$

Перенесем все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^2 - x + 20 - 7x - 20 = 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 8x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Мы можем решить его, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

$x_1 = 0$

или

$x - 8 = 0$

$x_2 = 8$

Ответ: $0; 8$.

б) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, мы получим квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$2y^2 - 9y + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант. Коэффициенты: $a=2, b=-9, c=4$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба найденных значения для $y$ ($y_1 = 4$ и $y_2 = \frac{1}{2}$) удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$:

1. При $y = 4$:

$x^2 = 4$

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2, x_2 = -2$

2. При $y = \frac{1}{2}$:

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm2; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.