Номер 3, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 2. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 3, страница 193.

Условие.

3 Найдите такие значения k, при которых уравнение $x^2 - 2kx + 2k + 3 = 0$ имеет только один корень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Данное уравнение $x^2 - 2kx + 2k + 3 = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$. Квадратное уравнение имеет только один корень (или два совпадающих корня) в том случае, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Коэффициенты данного уравнения:

• $a = 1$
• $b = -2k$
• $c = 2k + 3$

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2k + 3)$

Упростим полученное выражение:

$D = 4k^2 - 4(2k + 3)$

$D = 4k^2 - 8k - 12$

Теперь приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $k$, при которых уравнение имеет один корень:

$4k^2 - 8k - 12 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на 4:

$k^2 - 2k - 3 = 0$

Мы получили новое квадратное уравнение относительно переменной $k$. Решим его, чтобы найти искомые значения. Найдем дискриминант этого уравнения (обозначим его $D_k$):

$D_k = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Теперь найдем корни $k_1$ и $k_2$ по формуле корней квадратного уравнения:

$k_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$

Отсюда получаем два значения для $k$:

$k_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$k_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, при $k=3$ и $k=-1$ дискриминант исходного уравнения равен нулю, и оно имеет ровно один корень.

Ответ: $k = -1, k = 3$.