Номер 4, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 2. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 4, страница 193.

Условие.

4 Решите уравнение

$\frac{13x - 4}{(2x - 1)^2} - \frac{1}{2x - 1} = 8$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Исходное уравнение:

$$ \frac{13x - 4}{(2x - 1)^2} - \frac{1}{2x - 1} = 8 $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$2x - 1 \neq 0$

$2x \neq 1$

$x \neq \frac{1}{2}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(2x - 1)^2$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(2x - 1)$:

$$ \frac{13x - 4}{(2x - 1)^2} - \frac{1 \cdot (2x - 1)}{(2x - 1) \cdot (2x - 1)} = 8 $$

$$ \frac{13x - 4 - (2x - 1)}{(2x - 1)^2} = 8 $$

Упростим выражение в числителе:

$$ \frac{13x - 4 - 2x + 1}{(2x - 1)^2} = 8 $$

$$ \frac{11x - 3}{(2x - 1)^2} = 8 $$

Теперь умножим обе части уравнения на $(2x - 1)^2$, так как из ОДЗ мы знаем, что это выражение не равно нулю:

$$ 11x - 3 = 8(2x - 1)^2 $$

Раскроем скобки в правой части уравнения. Сначала возведем в квадрат двучлен, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$$ 11x - 3 = 8(4x^2 - 4x + 1) $$

$$ 11x - 3 = 32x^2 - 32x + 8 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$$ 0 = 32x^2 - 32x - 11x + 8 + 3 $$

$$ 32x^2 - 43x + 11 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 32, b = -43, c = 11$

$$ D = (-43)^2 - 4 \cdot 32 \cdot 11 = 1849 - 1408 = 441 $$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 $$

$$ x_1 = \frac{-(-43) + 21}{2 \cdot 32} = \frac{43 + 21}{64} = \frac{64}{64} = 1 $$

$$ x_2 = \frac{-(-43) - 21}{2 \cdot 32} = \frac{43 - 21}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32} $$

Оба корня, $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{11}{32}$, не равны $\frac{1}{2}$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; \frac{11}{32}$.