Номер 9, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 1. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 9, страница 192.

Условие.

9 Составляют квадратное уравнение вида $x^2 + bx + a = 0$. Коэффициент $a$ произвольно выбирают из чисел 1, 2, 3, 4, а коэффициент $b$ — из чисел 1, 2, 4. Какова вероятность того, что получится квадратное уравнение с одним корнем?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 6.

Квадратное уравнение вида $x^2 + bx + a = 0$ имеет ровно один корень (или два совпадающих действительных корня) тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Дискриминант для данного уравнения определяется формулой $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае, коэффициент при $x^2$ равен 1, поэтому формула принимает вид $D = b^2 - 4a$.

Приравниваем дискриминант к нулю, чтобы найти условие для одного корня: $b^2 - 4a = 0$, что эквивалентно $b^2 = 4a$.

Теперь определим общее количество возможных уравнений. Коэффициент $a$ выбирается из множества $\{1, 2, 3, 4\}$, что дает 4 варианта. Коэффициент $b$ выбирается из множества $\{1, 2, 4\}$, что дает 3 варианта. Так как выбор коэффициентов является независимым, общее число возможных пар $(a, b)$ равно произведению числа вариантов для каждого:

$N = 4 \times 3 = 12$.

Далее найдем количество благоприятных исходов, то есть пар $(a, b)$, удовлетворяющих условию $b^2 = 4a$. Для этого переберем все возможные значения $b$ и найдем соответствующие значения $a$:

- Если $b = 1$, то $1^2 = 4a$, откуда $a = \frac{1}{4}$. Это значение не принадлежит множеству $\{1, 2, 3, 4\}$.

- Если $b = 2$, то $2^2 = 4a$, то есть $4 = 4a$, откуда $a = 1$. Это значение принадлежит множеству $\{1, 2, 3, 4\}$. Таким образом, пара $(a=1, b=2)$ является благоприятным исходом.

- Если $b = 4$, то $4^2 = 4a$, то есть $16 = 4a$, откуда $a = 4$. Это значение принадлежит множеству $\{1, 2, 3, 4\}$. Таким образом, пара $(a=4, b=4)$ является благоприятным исходом.

Всего существует 2 благоприятных исхода: $(1, 2)$ и $(4, 4)$. Обозначим их количество как $M = 2$.

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$