Номер 33.17, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.17, страница 188.

Условие.

33.17 a) $\sqrt{x^2 + 2x + 5} = \sqrt{x^2 - 3x + 10};$

б) $\sqrt{5x^2 - 3x + 1} = \sqrt{3x^2 - 4x + 2};$

в) $\sqrt{3x^2 + 5x - 1} = \sqrt{2x^2 + 2x - 3};$

г) $\sqrt{6x^2 + x - 15} = \sqrt{x^2 - x + 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x^2 + 2x + 5} = \sqrt{x^2 - 3x + 10}$.

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны и при этом неотрицательны. Так как они равны, достаточно потребовать неотрицательность одного из них.

$\begin{cases} x^2 + 2x + 5 = x^2 - 3x + 10 \\ x^2 + 2x + 5 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение:

$x^2 + 2x + 5 = x^2 - 3x + 10$

$2x + 3x = 10 - 5$

$5x = 5$

$x = 1$

2. Проверим область допустимых значений (ОДЗ).
Для этого проанализируем подкоренные выражения. Для $f(x) = x^2 + 2x + 5$ дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то $x^2 + 2x + 5 > 0$ для всех $x$. Для $g(x) = x^2 - 3x + 10$ дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то $x^2 - 3x + 10 > 0$ для всех $x$. Следовательно, ОДЗ уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Таким образом, найденный корень $x=1$ является единственным решением.

Ответ: 1.

б)

Дано уравнение $\sqrt{5x^2 - 3x + 1} = \sqrt{3x^2 - 4x + 2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе по определению неотрицательны:

$5x^2 - 3x + 1 = 3x^2 - 4x + 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$5x^2 - 3x^2 - 3x + 4x + 1 - 2 = 0$

$2x^2 + x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Проверим ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Дискриминант выражения $5x^2 - 3x + 1$ равен $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11 < 0$. Дискриминант выражения $3x^2 - 4x + 2$ равен $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8 < 0$. Поскольку у обоих трехчленов старшие коэффициенты положительны, а дискриминанты отрицательны, они принимают только положительные значения при любых $x$. Значит, ОДЗ — все действительные числа.

Оба найденных корня входят в ОДЗ и являются решениями уравнения.

Ответ: -1; 0,5.

в)

Дано уравнение $\sqrt{3x^2 + 5x - 1} = \sqrt{2x^2 + 2x - 3}$.

Возводим обе части в квадрат при условии, что подкоренные выражения неотрицательны:

$3x^2 + 5x - 1 = 2x^2 + 2x - 3$

$3x^2 - 2x^2 + 5x - 2x - 1 + 3 = 0$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Отсюда находим корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = -2$

Теперь необходимо выполнить проверку, так как возведение в квадрат могло привести к появлению посторонних корней. Подставим найденные корни в одно из неравенств, определяющих ОДЗ, например, $2x^2 + 2x - 3 \ge 0$.

Проверка для $x_1 = -1$:

$2(-1)^2 + 2(-1) - 3 = 2 \cdot 1 - 2 - 3 = -3$.

Так как $-3 < 0$, подкоренное выражение отрицательно, что недопустимо. Следовательно, $x_1 = -1$ является посторонним корнем.

Проверка для $x_2 = -2$:

$2(-2)^2 + 2(-2) - 3 = 2 \cdot 4 - 4 - 3 = 8 - 4 - 3 = 1$.

Так как $1 \ge 0$, подкоренное выражение неотрицательно. Следовательно, $x_2 = -2$ является решением уравнения.

Ответ: -2.

г)

Дано уравнение $\sqrt{6x^2 + x - 15} = \sqrt{x^2 - x + 1}$.

Возводим обе части в квадрат:

$6x^2 + x - 15 = x^2 - x + 1$

Переносим все члены в левую часть:

$6x^2 - x^2 + x + x - 15 - 1 = 0$

$5x^2 + 2x - 16 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(5)(-16) = 4 + 320 = 324 = 18^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 18}{2 \cdot 5} = \frac{16}{10} = 1,6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 18}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

Проверим ОДЗ. Рассмотрим выражение $x^2 - x + 1$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицательный, а ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), выражение $x^2 - x + 1$ всегда положительно. ОДЗ — все действительные числа.

Следовательно, оба найденных корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -2; 1,6.