Номер 33.12, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.12, страница 187.

Условие.

33.12 a) $\sqrt{x} - \frac{20}{\sqrt{x}} = 1;$

б) $\sqrt{x} + 3 = \frac{18}{\sqrt{x}};$

в) $\sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt{x}} = 1;$

г) $\sqrt{x} + 4 = \frac{32}{\sqrt{x}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} - \frac{20}{\sqrt{x}} = 1 $.

Область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно, $ x > 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt{x} $. Поскольку $ x > 0 $, то и $ t > 0 $.

Подставим $t$ в исходное уравнение:
$ t - \frac{20}{t} = 1 $

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:
$ t^2 - 20 = t $
$ t^2 - t - 20 = 0 $

Мы получили квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
Сумма корней $ t_1 + t_2 = 1 $
Произведение корней $ t_1 \cdot t_2 = -20 $
Корни уравнения: $ t_1 = 5 $ и $ t_2 = -4 $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 0 $:
$ t_1 = 5 $ - удовлетворяет условию.
$ t_2 = -4 $ - не удовлетворяет условию, так как $ -4 < 0 $. Этот корень является посторонним.

Вернемся к замене для $ t = 5 $:
$ \sqrt{x} = 5 $
Возведем обе части в квадрат:
$ x = 5^2 $
$ x = 25 $

Проверка: $ \sqrt{25} - \frac{20}{\sqrt{25}} = 5 - \frac{20}{5} = 5 - 4 = 1 $. Равенство верно. Корень $ x = 25 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = 25 $.

---

б) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} + 3 = \frac{18}{\sqrt{x}} $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt{x} $. Так как $ x > 0 $, то $ t > 0 $.

Подставим $t$ в уравнение:
$ t + 3 = \frac{18}{t} $

Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$ t^2 + 3t = 18 $
$ t^2 + 3t - 18 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней $ t_1 + t_2 = -3 $
Произведение корней $ t_1 \cdot t_2 = -18 $
Корни уравнения: $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = -6 $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 0 $:
$ t_1 = 3 $ - удовлетворяет условию.
$ t_2 = -6 $ - не удовлетворяет условию ($ -6 < 0 $). Это посторонний корень.

Вернемся к замене для $ t = 3 $:
$ \sqrt{x} = 3 $
$ x = 3^2 $
$ x = 9 $

Проверка: $ \sqrt{9} + 3 = \frac{18}{\sqrt{9}} \implies 3 + 3 = \frac{18}{3} \implies 6 = 6 $. Равенство верно. Корень $ x = 9 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = 9 $.

---

в) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt{x}} = 1 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt{x} $, при этом $ t > 0 $.

Подставим $t$ в уравнение:
$ t - \frac{6}{t} = 1 $

Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$ t^2 - 6 = t $
$ t^2 - t - 6 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней $ t_1 + t_2 = 1 $
Произведение корней $ t_1 \cdot t_2 = -6 $
Корни уравнения: $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = -2 $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 0 $:
$ t_1 = 3 $ - удовлетворяет условию.
$ t_2 = -2 $ - не удовлетворяет условию ($ -2 < 0 $). Это посторонний корень.

Вернемся к замене для $ t = 3 $:
$ \sqrt{x} = 3 $
$ x = 3^2 $
$ x = 9 $

Проверка: $ \sqrt{9} - \frac{6}{\sqrt{9}} = 3 - \frac{6}{3} = 3 - 2 = 1 $. Равенство верно. Корень $ x = 9 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = 9 $.

---

г) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} + 4 = \frac{32}{\sqrt{x}} $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt{x} $, где $ t > 0 $.

Подставим $t$ в уравнение:
$ t + 4 = \frac{32}{t} $

Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$ t^2 + 4t = 32 $
$ t^2 + 4t - 32 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней $ t_1 + t_2 = -4 $
Произведение корней $ t_1 \cdot t_2 = -32 $
Корни уравнения: $ t_1 = 4 $ и $ t_2 = -8 $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 0 $:
$ t_1 = 4 $ - удовлетворяет условию.
$ t_2 = -8 $ - не удовлетворяет условию ($ -8 < 0 $). Это посторонний корень.

Вернемся к замене для $ t = 4 $:
$ \sqrt{x} = 4 $
$ x = 4^2 $
$ x = 16 $

Проверка: $ \sqrt{16} + 4 = \frac{32}{\sqrt{16}} \implies 4 + 4 = \frac{32}{4} \implies 8 = 8 $. Равенство верно. Корень $ x = 16 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = 16 $.