Номер 33.7, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.7, страница 187.

Условие.

Решите уравнение:

33.7

a) $\sqrt{7 - 3x} = x + 7;$

б) $\sqrt{3 - x} = 3x + 5;$

в) $\sqrt{15 + 3x} = 1 - x;$

г) $\sqrt{34 - 5x} = 7 - 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{7 - 3x} = x + 7$

Решение. Для решения иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ необходимо, чтобы выполнялись два условия: подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($f(x) \ge 0$), и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной ($g(x) \ge 0$), так как она равна арифметическому квадратному корню.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 7 - 3x \ge 0 \\ x + 7 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3x \ge -7 \\ x \ge -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le \frac{7}{3} \\ x \ge -7 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $-7 \le x \le \frac{7}{3}$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{7 - 3x})^2 = (x + 7)^2$

$7 - 3x = x^2 + 14x + 49$

3. Приведем полученное уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 14x + 3x + 49 - 7 = 0$

$x^2 + 17x + 42 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -17, а их произведение равно 42. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = -14$.

5. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($-7 \le x \le \frac{7}{3}$):

• $x_1 = -3$: Условие $-7 \le -3 \le \frac{7}{3}$ выполняется. Этот корень подходит.
• $x_2 = -14$: Условие $-7 \le -14 \le \frac{7}{3}$ не выполняется, так как $-14 < -7$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: -3.

б) $\sqrt{3 - x} = 3x + 5$

Решение.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ 3x + 5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 3 \\ 3x \ge -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge -\frac{5}{3} \end{cases}$

ОДЗ: $-\frac{5}{3} \le x \le 3$.

2. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3 - x})^2 = (3x + 5)^2$

$3 - x = 9x^2 + 30x + 25$

3. Приведем к квадратному уравнению:

$9x^2 + 30x + x + 25 - 3 = 0$

$9x^2 + 31x + 22 = 0$

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 9 \cdot 22 = 961 - 792 = 169 = 13^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 \pm 13}{2 \cdot 9} = \frac{-31 \pm 13}{18}$

$x_1 = \frac{-31 + 13}{18} = \frac{-18}{18} = -1$

$x_2 = \frac{-31 - 13}{18} = \frac{-44}{18} = -\frac{22}{9}$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-\frac{5}{3} \le x \le 3$). Заметим, что $-\frac{5}{3} \approx -1.67$, а $-\frac{22}{9} \approx -2.44$.

• $x_1 = -1$: Условие $-\frac{5}{3} \le -1 \le 3$ выполняется. Этот корень подходит.
• $x_2 = -\frac{22}{9}$: Условие не выполняется, так как $-\frac{22}{9} < -\frac{5}{3}$. Этот корень посторонний.

Ответ: -1.

в) $\sqrt{15 + 3x} = 1 - x$

Решение.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 15 + 3x \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x \ge -15 \\ -x \ge -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 1 \end{cases}$

ОДЗ: $-5 \le x \le 1$.

2. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{15 + 3x})^2 = (1 - x)^2$

$15 + 3x = 1 - 2x + x^2$

3. Приведем к квадратному уравнению:

$x^2 - 2x - 3x + 1 - 15 = 0$

$x^2 - 5x - 14 = 0$

4. Решим квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение равно -14. Корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-5 \le x \le 1$):

• $x_1 = 7$: Условие не выполняется, так как $7 > 1$. Это посторонний корень.
• $x_2 = -2$: Условие $-5 \le -2 \le 1$ выполняется. Этот корень подходит.

Ответ: -2.

г) $\sqrt{34 - 5x} = 7 - 2x$

Решение.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 34 - 5x \ge 0 \\ 7 - 2x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -5x \ge -34 \\ -2x \ge -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le \frac{34}{5} \\ x \le \frac{7}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 6.8 \\ x \le 3.5 \end{cases}$

Более строгим является второе условие, поэтому ОДЗ: $x \le 3.5$.

2. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{34 - 5x})^2 = (7 - 2x)^2$

$34 - 5x = 49 - 28x + 4x^2$

3. Приведем к квадратному уравнению:

$4x^2 - 28x + 5x + 49 - 34 = 0$

$4x^2 - 23x + 15 = 0$

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 529 - 240 = 289 = 17^2$

$x = \frac{-(-23) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{23 \pm 17}{8}$

$x_1 = \frac{23 + 17}{8} = \frac{40}{8} = 5$

$x_2 = \frac{23 - 17}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le 3.5$):

• $x_1 = 5$: Условие не выполняется, так как $5 > 3.5$. Это посторонний корень.
• $x_2 = \frac{3}{4}$: Условие $\frac{3}{4} \le 3.5$ выполняется. Этот корень подходит.

Ответ: $\frac{3}{4}$.