Страница 188, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Соотношение между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Соотношение между корнями и коэффициентами квадратного уравнения устанавливается с помощью теоремы Виета. Эта теорема, названная в честь французского математика Франсуа Виета, связывает корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения с его коэффициентами.

Теорема Виета для полного квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — коэффициенты, причем $a \neq 0$. Если это уравнение имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$ (то есть дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$), то для них справедливы следующие соотношения, известные как формулы Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Доказательство:
Известно, что корни квадратного уравнения можно найти по общим формулам:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
1. Найдем сумму этих корней:
$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{(-b + \sqrt{b^2 - 4ac}) + (-b - \sqrt{b^2 - 4ac})}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$.
2. Найдем произведение корней. Используем формулу разности квадратов $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$ для числителя:
$x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \cdot \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{(2a)^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$.
Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Для корней $x_1, x_2$ уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \neq 0$), сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения

Частным, но очень распространенным случаем является приведенное квадратное уравнение, в котором старший коэффициент $a=1$. Такое уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$.
Его можно получить из полного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, разделив все его члены на $a$: $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$. В этом случае $p = \frac{b}{a}$ и $q = \frac{c}{a}$.
Применяя общие формулы Виета, получаем их упрощенный вид:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Эта формулировка особенно удобна для практического применения: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Ответ: Для корней $x_1, x_2$ уравнения $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

Обратная теорема Виета

Справедлива и обратная теорема, которая позволяет по двум числам определить, являются ли они корнями некоторого квадратного уравнения.
Формулировка: если числа $m$ и $n$ таковы, что их сумма $m + n = -p$, а их произведение $m \cdot n = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Доказательство:
Рассмотрим уравнение $x^2 + px + q = 0$. По условию теоремы, мы можем заменить коэффициенты $p$ и $q$ на выражения через $m$ и $n$:
$p = -(m+n)$
$q = m \cdot n$
Подставим их в уравнение:
$x^2 - (m+n)x + mn = 0$.
Чтобы доказать, что $m$ и $n$ являются корнями, подставим их поочередно в это уравнение.
При $x = m$ имеем:
$m^2 - (m+n)m + mn = m^2 - m^2 - nm + mn = 0$. Равенство $0=0$ верное, значит $m$ — корень.
При $x = n$ имеем:
$n^2 - (m+n)n + mn = n^2 - mn - n^2 + mn = 0$. Равенство $0=0$ верное, значит $n$ — тоже корень.
Теорема доказана.

Обратная теорема Виета широко используется для устного подбора целочисленных корней приведенных квадратных уравнений и для составления квадратного уравнения по его известным корням.

Ответ: Если для чисел $m$ и $n$ выполняются равенства $m + n = -p$ и $m \cdot n = q$, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

2. Задачи с параметрами.

На изображении представлен заголовок раздела "Задачи с параметрами", но отсутствует конкретная задача для решения. Задачи с параметрами — это математические задачи, в условии которых, помимо неизвестных переменных, содержатся буквенные параметры. Решить такую задачу означает найти, при каких значениях параметров выполняются условия задачи (например, уравнение имеет определенное количество корней, неравенство верно для всех $x$ и т.д.).

Для демонстрации метода решения подобных задач, рассмотрим следующую проблему: найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(a-2)x^2 + 2ax + a + 3 = 0$ имеет ровно один корень.

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$, но только если коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Поэтому необходимо рассмотреть два основных случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит, когда $a-2=0$, то есть $a=2$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$(2-2)x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + 2 + 3 = 0$

$0 \cdot x^2 + 4x + 5 = 0$

$4x + 5 = 0$

Это линейное уравнение, которое имеет единственный корень $x = -\frac{5}{4}$. Условие задачи (уравнение имеет ровно один корень) выполняется. Следовательно, $a=2$ является одним из искомых значений параметра.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит при $a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$. В этом случае уравнение является квадратным. Квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет ровно один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Вычислим дискриминант для нашего уравнения. Здесь коэффициенты: $A = a-2$, $B = 2a$, $C = a+3$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

$D = (2a)^2 - 4(a-2)(a+3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = 4a^2 - 4(a^2 + 3a - 2a - 6)$

$D = 4a^2 - 4(a^2 + a - 6)$

$D = 4a^2 - 4a^2 - 4a + 24$

$D = -4a + 24$

Приравниваем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $a$, при которых уравнение имеет один корень:

$-4a + 24 = 0$

$-4a = -24$

$a = 6$

При $a=6$ коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($6-2=4 \neq 0$), поэтому это значение параметра нам подходит. При $a=6$ квадратное уравнение имеет один корень.

Итог:

Мы рассмотрели все возможные случаи. Уравнение имеет ровно один корень, если:

1. Оно вырождается в линейное и имеет один корень. Это происходит при $a=2$.

2. Оно является квадратным и имеет один корень (дискриминант равен нулю). Это происходит при $a=6$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a=2; a=6$.

3. Иррациональные уравнения.

Определение

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала). Например, уравнения `$\sqrt{x+5} = 3$`, `$\sqrt[3]{x^2-1} = x$` и `$\sqrt{x} + \sqrt{x-7} = 4$` являются иррациональными.

Ответ: Иррациональное уравнение – это уравнение, содержащее переменную под знаком корня.

Основные методы решения

Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня, чтобы избавиться от радикала. Если в уравнении несколько корней, операцию повторяют несколько раз.

• Возведение в степень. Если уравнение имеет вид `$\sqrt[n]{f(x)} = g(x)$`, то его возводят в `$n$`-ю степень: `$f(x) = (g(x))^n$`.
• Проверка корней и область допустимых значений (ОДЗ). При возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появиться посторонние корни. Это происходит потому, что из `$A^2 = B^2$` не следует, что `$A=B$` (возможно, `$A=-B$`). Поэтому после нахождения корней необходимо выполнить проверку одним из двух способов:
  1. Подставить найденные значения в исходное уравнение и убедиться, что получается верное равенство.
  2. Найти область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения. Для корней четной степени (`$\sqrt{}$, `$\sqrt[4]{}$`, ...) подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Также, если корень четной степени приравнивается к некоторому выражению (`$\sqrt{f(x)} = g(x)$`), то это выражение также должно быть неотрицательным (`$g(x) \ge 0$`). Корни, не входящие в ОДЗ, являются посторонними.
• Введение новой переменной (замена). Этот метод используется для упрощения сложных уравнений. Если в уравнении многократно встречается некоторое выражение с корнем, его можно заменить на новую переменную, свести задачу к более простому (часто алгебраическому) уравнению, а затем выполнить обратную замену.

Ответ: Основные методы решения иррациональных уравнений — это возведение обеих частей уравнения в степень, проверка корней (или нахождение ОДЗ) и метод введения новой переменной.

Примеры решения

1) Решите уравнение `$\sqrt{x+7} = 4$`.

Решение.

Это простейшее иррациональное уравнение. Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

`$(\sqrt{x+7})^2 = 4^2$`

`$x+7 = 16$`

Перенесем 7 в правую часть:

`$x = 16 - 7$`

`$x = 9$`

Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:

`$\sqrt{9+7} = \sqrt{16} = 4$`.

`$4 = 4$`. Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 9.

2) Решите уравнение `$\sqrt{3x+4} = x$`.

Решение.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то правая часть уравнения должна быть неотрицательной: `$x \ge 0$`. Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным: `$3x+4 \ge 0$`, что дает `$x \ge -4/3$`. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: `$x \ge 0$`.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

`$(\sqrt{3x+4})^2 = x^2$`

`$3x+4 = x^2$`

Получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:

`$x^2 - 3x - 4 = 0$`

Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корни уравнения: `$x_1 = 4$` и `$x_2 = -1$`.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ (`$x \ge 0$`).

Корень `$x_1 = 4$` удовлетворяет условию `$4 \ge 0$`.

Корень `$x_2 = -1$` не удовлетворяет условию `$-1 \ge 0$`, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: 4.

3) Решите уравнение `$x - \sqrt{x+1} = 5$`.

Решение.

Сначала изолируем корень в одной части уравнения. Это упростит возведение в квадрат.

`$x - 5 = \sqrt{x+1}$`

Определим ОДЗ. Во-первых, подкоренное выражение: `$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$`. Во-вторых, правая часть (корень) неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательной: `$x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$`. Объединяя условия, получаем ОДЗ: `$x \ge 5$`.

Теперь возведем обе части уравнения `$x-5 = \sqrt{x+1}$` в квадрат:

`$(x-5)^2 = (\sqrt{x+1})^2$`

`$x^2 - 10x + 25 = x+1$`

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

`$x^2 - 11x + 24 = 0$`

Найдем корни. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно 24. Корни: `$x_1 = 3$` и `$x_2 = 8$`.

Проверим корни по ОДЗ (`$x \ge 5$`):

`$x_1 = 3$` не удовлетворяет условию, так как `$3 < 5$`. Это посторонний корень.

`$x_2 = 8$` удовлетворяет условию, так как `$8 \ge 5$`.

Можно также выполнить прямую подстановку в исходное уравнение:

При `$x=8$`: `$8 - \sqrt{8+1} = 8 - \sqrt{9} = 8-3 = 5$`. Верно.

При `$x=3$`: `$3 - \sqrt{3+1} = 3 - \sqrt{4} = 3-2 = 1 \ne 5$`. Неверно.

Ответ: 8.

4) Решите уравнение `$\sqrt{2x-3} + \sqrt{4x+1} = 4$`.

Решение.

ОДЗ: `$2x-3 \ge 0 \implies x \ge 1.5$` и `$4x+1 \ge 0 \implies x \ge -0.25$`. Общее ОДЗ: `$x \ge 1.5$`.

Уединим один из корней:

`$\sqrt{4x+1} = 4 - \sqrt{2x-3}$`

Возведем в квадрат обе части:

`$(\sqrt{4x+1})^2 = (4 - \sqrt{2x-3})^2$`

`$4x+1 = 16 - 8\sqrt{2x-3} + (2x-3)$`

`$4x+1 = 13 + 2x - 8\sqrt{2x-3}$`

Снова уединим оставшийся корень:

`$4x+1 - 13 - 2x = -8\sqrt{2x-3}$`

`$2x - 12 = -8\sqrt{2x-3}$`

Разделим обе части на 2 для упрощения:

`$x - 6 = -4\sqrt{2x-3}$`

Еще раз возведем в квадрат. Обратим внимание, что левая часть `$x-6$` и правая `$-4\sqrt{2x-3}$` должны иметь одинаковые знаки. Так как правая часть неположительна (`$\le 0$`), то и левая должна быть такой же: `$x-6 \le 0 \implies x \le 6$`. С учетом ОДЗ (`$x \ge 1.5$`), получаем, что корень должен лежать в интервале `$[1.5, 6]$`.

`$(x-6)^2 = (-4\sqrt{2x-3})^2$`

`$x^2 - 12x + 36 = 16(2x-3)`

`$x^2 - 12x + 36 = 32x - 48$`

`$x^2 - 44x + 84 = 0$`

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант `$D = (-44)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 1936 - 336 = 1600 = 40^2$`.

`$x_{1,2} = \frac{44 \pm 40}{2}$`

`$x_1 = \frac{84}{2} = 42$`

`$x_2 = \frac{4}{2} = 2$`

Проверяем корни по найденному ограничению `$[1.5, 6]$`.

`$x_1=42$` не принадлежит этому интервалу. Это посторонний корень.

`$x_2=2$` принадлежит интервалу.

Подставим `$x=2$` в исходное уравнение для окончательной проверки:

`$\sqrt{2(2)-3} + \sqrt{4(2)+1} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$`. Верно.

Ответ: 2.

33.13 а) $(5x - 1) + \sqrt{5x - 1} = 12;$

б) $(2x + 3) + \sqrt{2x + 3} = 2;$

в) $(7x + 4) - \sqrt{7x + 4} = 42;$

г) $(12x - 1) + \sqrt{12x - 1} = 6.$

а) $(5x - 1) + \sqrt{5x - 1} = 12$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = \sqrt{5x - 1}$. Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.

Тогда выражение $(5x - 1)$ равно $y^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 + y = 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + y - 12 = 0$

Решим это уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как мы установили, что $y \ge 0$, корень $y_2 = -4$ является посторонним. Таким образом, у нас остается только один корень $y = 3$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{5x - 1} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5x - 1})^2 = 3^2$

$5x - 1 = 9$

$5x = 10$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень области допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{5}$. Корень $x=2$ удовлетворяет этому условию.

Подставим $x=2$ в исходное уравнение для проверки:

$(5 \cdot 2 - 1) + \sqrt{5 \cdot 2 - 1} = (10-1) + \sqrt{9} = 9 + 3 = 12$

$12 = 12$. Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $2$.

б) $(2x + 3) + \sqrt{2x + 3} = 2$

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{2x + 3}$, при этом $y \ge 0$. Тогда $(2x+3) = y^2$.

Подставим в уравнение:

$y^2 + y = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Учитывая условие $y \ge 0$, корень $y_2 = -2$ не подходит. Остается $y = 1$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt{2x + 3} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$2x + 3 = 1^2$

$2x + 3 = 1$

$2x = -2$

$x = -1$

Проверим область допустимых значений: $2x + 3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$. Корень $x=-1$ удовлетворяет этому условию.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$(2(-1) + 3) + \sqrt{2(-1) + 3} = (-2+3) + \sqrt{1} = 1+1=2$

$2=2$. Равенство верное.

Ответ: $-1$.

в) $(7x + 4) - \sqrt{7x + 4} = 42$

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{7x + 4}$, где $y \ge 0$. Тогда $(7x + 4) = y^2$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 - y = 42$

$y^2 - y - 42 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$y_2 = \frac{1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -6$ является посторонним. Используем $y = 7$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{7x + 4} = 7$

Возведем обе части в квадрат:

$7x + 4 = 7^2$

$7x + 4 = 49$

$7x = 45$

$x = \frac{45}{7}$

Проверим область допустимых значений: $7x + 4 \ge 0 \implies 7x \ge -4 \implies x \ge -\frac{4}{7}$. Найденный корень $x = \frac{45}{7}$ удовлетворяет условию.

Проверка подстановкой:

$(7(\frac{45}{7}) + 4) - \sqrt{7(\frac{45}{7}) + 4} = (45 + 4) - \sqrt{49} = 49 - 7 = 42$

$42 = 42$. Равенство верное.

Ответ: $\frac{45}{7}$.

г) $(12x - 1) + \sqrt{12x - 1} = 6$

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{12x - 1}$, при этом $y \ge 0$. Тогда $(12x - 1) = y^2$.

Подставляем в уравнение:

$y^2 + y = 6$

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Учитывая условие $y \ge 0$, корень $y_2 = -3$ не подходит. Остается $y = 2$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt{12x - 1} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$12x - 1 = 2^2$

$12x - 1 = 4$

$12x = 5$

$x = \frac{5}{12}$

Проверим область допустимых значений: $12x - 1 \ge 0 \implies 12x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{12}$. Корень $x = \frac{5}{12}$ удовлетворяет этому условию.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$(12(\frac{5}{12}) - 1) + \sqrt{12(\frac{5}{12}) - 1} = (5-1) + \sqrt{4} = 4+2=6$

$6=6$. Равенство верное.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

Выясните, равносильны ли уравнения:

33.14 а) $\sqrt{x+1}=2$ и $x-2=1$;

б) $\sqrt{2x+1}=3$ и $x^2=16$;

в) $\sqrt{5-x}=3$ и $x^2=16$;

г) $\sqrt{3x+4}=5$ и $2(x-3)=15-x$.

а) Для того чтобы выяснить, равносильны ли уравнения, нужно найти их корни (множества решений) и сравнить их. Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.

1. Решим первое уравнение: $\sqrt{x+1} = 2$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{x+1})^2 = 2^2$
$x+1 = 4$
$x = 4 - 1$
$x = 3$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $3 \ge -1$. Да, удовлетворяет. Множество решений первого уравнения: $\{3\}$.

2. Решим второе уравнение: $x - 2 = 1$.
Это простое линейное уравнение.
$x = 1 + 2$
$x = 3$
Множество решений второго уравнения: $\{3\}$.

3. Сравним множества решений.
Множества решений обоих уравнений совпадают ($\{3\}$ и $\{3\}$). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: уравнения равносильны.

б) 1. Решим первое уравнение: $\sqrt{2x+1} = 3$.
ОДЗ: $2x+1 \ge 0$, откуда $2x \ge -1$, $x \ge -0.5$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x+1})^2 = 3^2$
$2x+1 = 9$
$2x = 8$
$x = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge -0.5$). Множество решений первого уравнения: $\{4\}$.

2. Решим второе уравнение: $x^2 = 16$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Множество решений второго уравнения: $\{-4, 4\}$.

3. Сравним множества решений.
Множество решений первого уравнения $\{4\}$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\{-4, 4\}$. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: уравнения не равносильны.

в) 1. Решим первое уравнение: $\sqrt{5-x} = 3$.
ОДЗ: $5-x \ge 0$, откуда $x \le 5$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{5-x})^2 = 3^2$
$5-x = 9$
$-x = 9 - 5$
$-x = 4$
$x = -4$
Корень $x=-4$ удовлетворяет ОДЗ ($-4 \le 5$). Множество решений первого уравнения: $\{-4\}$.

2. Решим второе уравнение: $x^2 = 16$.
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Множество решений второго уравнения: $\{-4, 4\}$.

3. Сравним множества решений.
Множество решений первого уравнения $\{-4\}$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\{-4, 4\}$. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: уравнения не равносильны.

г) 1. Решим первое уравнение: $\sqrt{3x+4} = 5$.
ОДЗ: $3x+4 \ge 0$, откуда $3x \ge -4$, $x \ge -\frac{4}{3}$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x+4})^2 = 5^2$
$3x+4 = 25$
$3x = 21$
$x = 7$
Корень $x=7$ удовлетворяет ОДЗ ($7 \ge -\frac{4}{3}$). Множество решений первого уравнения: $\{7\}$.

2. Решим второе уравнение: $2(x-3) = 15 - x$.
Раскроем скобки в левой части:
$2x - 6 = 15 - x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:
$2x + x = 15 + 6$
$3x = 21$
$x = 7$
Множество решений второго уравнения: $\{7\}$.

3. Сравним множества решений.
Множества решений обоих уравнений совпадают ($\{7\}$ и $\{7\}$). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: уравнения равносильны.

33.15 а) $\sqrt{x+1} = 3$ и $x^2 - 7x - 8 = 0;$

б) $\sqrt{x} = x - 2$ и $x^2 = 5x - 4;$

в) $\sqrt{7-x} = -2$ и $x^2 + 4x + 8 = 0;$

г) $\sqrt{4x+1} = x - 1$ и $x^2 - 12x + 36 = 0.$

а) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Сравним уравнения $\sqrt{x+1} = 3$ и $x^2 - 7x - 8 = 0$.
1. Решим первое уравнение: $\sqrt{x+1} = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:$(\sqrt{x+1})^2 = 3^2$
$x + 1 = 9$
$x = 8$
Полученный корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 \ge -1$). Следовательно, множество решений первого уравнения: $\{8\}$.
2. Решим второе уравнение: $x^2 - 7x - 8 = 0$.
Это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -(-7)/1 = 7$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -8/1 = -8$.
Подбором находим корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.
Множество решений второго уравнения: $\{-1, 8\}$.
3. Сравним множества решений: $\{8\} \neq \{-1, 8\}$.
Так как множества решений не совпадают, данные уравнения не являются равносильными.
Ответ: уравнения не равносильны.

б) Сравним уравнения $\sqrt{x} = x - 2$ и $x^2 = 5x - 4$.
1. Решим первое уравнение: $\sqrt{x} = x - 2$.
ОДЗ: $x \ge 0$. Кроме того, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому должно выполняться условие $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат при условии $x \ge 2$:
$(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2$
$x = x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = 4$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 2$:
$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию ($1 < 2$), следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \ge 2$).
Множество решений первого уравнения: $\{4\}$.
2. Решим второе уравнение: $x^2 = 5x - 4$.
Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Корни этого уравнения, как мы уже нашли выше, $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Множество решений второго уравнения: $\{1, 4\}$.
3. Сравним множества решений: $\{4\} \neq \{1, 4\}$.
Уравнения не являются равносильными.
Ответ: уравнения не равносильны.

в) Сравним уравнения $\sqrt{7-x} = -2$ и $x^2 + 4x + 8 = 0$.
1. Решим первое уравнение: $\sqrt{7-x} = -2$.
По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) является неотрицательным числом. Левая часть уравнения $\sqrt{7-x} \ge 0$, а правая часть равна -2. Равенство неотрицательного числа и отрицательного невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений. Множество его решений пусто: $\emptyset$.
2. Решим второе уравнение: $x^2 + 4x + 8 = 0$.
Найдем дискриминант $D$ данного квадратного уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Множество его решений также пусто: $\emptyset$.
3. Сравним множества решений: $\emptyset = \emptyset$.
Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (оба пусты), уравнения являются равносильными.
Ответ: уравнения равносильны.

г) Сравним уравнения $\sqrt{4x+1} = x - 1$ и $x^2 - 12x + 36 = 0$.
1. Решим первое уравнение: $\sqrt{4x+1} = x - 1$.
ОДЗ: $4x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/4$. Также правая часть должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Общее условие: $x \ge 1$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{4x+1})^2 = (x - 1)^2$
$4x + 1 = x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 6x = 0$
$x(x - 6) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.
Проверим корни на соответствие условию $x \ge 1$:
$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию ($0 < 1$), это посторонний корень.
$x_2 = 6$ удовлетворяет условию ($6 \ge 1$).
Множество решений первого уравнения: $\{6\}$.
2. Решим второе уравнение: $x^2 - 12x + 36 = 0$.
Левая часть уравнения является полным квадратом разности:
$(x - 6)^2 = 0$
$x - 6 = 0$
$x = 6$
Множество решений второго уравнения: $\{6\}$.
3. Сравним множества решений: $\{6\} = \{6\}$.
Множества решений совпадают, следовательно, уравнения являются равносильными.
Ответ: уравнения равносильны.

Решите уравнение:

33.16 а) $\sqrt{4x + 3} = \sqrt{4x^2 + 5x - 2};$

б) $\sqrt{6x^2 - 2x + 1} = \sqrt{3x + 2};$

в) $\sqrt{2x^2 + 3x - 1} = \sqrt{5x - 1};$

г) $\sqrt{8x - 3} = \sqrt{x^2 + 4x + 1}.$

а) Дано уравнение $\sqrt{4x+3} = \sqrt{4x^2+5x-2}$.
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой выражения под корнями равны, и одно из них (более простое) неотрицательно.$4x+3 = 4x^2+5x-2$ при условии $4x+3 \ge 0$.
Сначала решим уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:$4x^2 + 5x - 4x - 2 - 3 = 0$
$4x^2 + x - 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$.
Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm 9}{8}$.
$x_1 = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$
$x_2 = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$
Теперь проверим найденные корни по условию $4x+3 \ge 0$, или $x \ge -\frac{3}{4}$.
Для $x_1 = -\frac{5}{4} = -1.25$: $-1.25 < -\frac{3}{4}$, следовательно, это посторонний корень.
Для $x_2 = 1$: $1 > -\frac{3}{4}$, следовательно, это решение.
Ответ: $1$

б) Дано уравнение $\sqrt{6x^2-2x+1} = \sqrt{3x+2}$.
Возводим обе части в квадрат при условии $3x+2 \ge 0$.$6x^2-2x+1 = 3x+2$
Перенесем все члены в одну сторону:$6x^2 - 2x - 3x + 1 - 2 = 0$
$6x^2 - 5x - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$.
Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 7}{12}$.
$x_1 = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$
$x_2 = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$
Проверим найденные корни по условию $3x+2 \ge 0$, или $x \ge -\frac{2}{3}$.
Для $x_1 = -\frac{1}{6}$: $-\frac{1}{6} \ge -\frac{2}{3}$ (т.к. $-\frac{1}{6} \ge -\frac{4}{6}$), корень подходит.
Для $x_2 = 1$: $1 > -\frac{2}{3}$, корень подходит.
Ответ: $-\frac{1}{6}; 1$

в) Дано уравнение $\sqrt{2x^2+3x-1} = \sqrt{5x-1}$.
Возводим обе части в квадрат при условии $5x-1 \ge 0$.$2x^2+3x-1 = 5x-1$
Перенесем все члены в одну сторону:$2x^2 + 3x - 5x - 1 + 1 = 0$
$2x^2 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:$2x(x-1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Проверим найденные корни по условию $5x-1 \ge 0$, или $x \ge \frac{1}{5}$.
Для $x_1 = 0$: $0 < \frac{1}{5}$, следовательно, это посторонний корень.
Для $x_2 = 1$: $1 > \frac{1}{5}$, следовательно, это решение.
Ответ: $1$

г) Дано уравнение $\sqrt{8x-3} = \sqrt{x^2+4x+1}$.
Возводим обе части в квадрат при условии $8x-3 \ge 0$.$8x-3 = x^2+4x+1$
Перенесем все члены в одну сторону:$x^2 + 4x - 8x + 1 + 3 = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:$(x-2)^2 = 0$
Отсюда получаем единственный корень: $x = 2$.
Проверим найденный корень по условию $8x-3 \ge 0$, или $x \ge \frac{3}{8}$.
Для $x = 2$: $2 > \frac{3}{8}$, следовательно, это решение.
Ответ: $2$

33.17 a) $\sqrt{x^2 + 2x + 5} = \sqrt{x^2 - 3x + 10};$

б) $\sqrt{5x^2 - 3x + 1} = \sqrt{3x^2 - 4x + 2};$

в) $\sqrt{3x^2 + 5x - 1} = \sqrt{2x^2 + 2x - 3};$

г) $\sqrt{6x^2 + x - 15} = \sqrt{x^2 - x + 1}.$

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x^2 + 2x + 5} = \sqrt{x^2 - 3x + 10}$.

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны и при этом неотрицательны. Так как они равны, достаточно потребовать неотрицательность одного из них.

$\begin{cases} x^2 + 2x + 5 = x^2 - 3x + 10 \\ x^2 + 2x + 5 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение:

$x^2 + 2x + 5 = x^2 - 3x + 10$

$2x + 3x = 10 - 5$

$5x = 5$

$x = 1$

2. Проверим область допустимых значений (ОДЗ).
Для этого проанализируем подкоренные выражения. Для $f(x) = x^2 + 2x + 5$ дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то $x^2 + 2x + 5 > 0$ для всех $x$. Для $g(x) = x^2 - 3x + 10$ дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то $x^2 - 3x + 10 > 0$ для всех $x$. Следовательно, ОДЗ уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Таким образом, найденный корень $x=1$ является единственным решением.

Ответ: 1.

б)

Дано уравнение $\sqrt{5x^2 - 3x + 1} = \sqrt{3x^2 - 4x + 2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе по определению неотрицательны:

$5x^2 - 3x + 1 = 3x^2 - 4x + 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$5x^2 - 3x^2 - 3x + 4x + 1 - 2 = 0$

$2x^2 + x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Проверим ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Дискриминант выражения $5x^2 - 3x + 1$ равен $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11 < 0$. Дискриминант выражения $3x^2 - 4x + 2$ равен $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8 < 0$. Поскольку у обоих трехчленов старшие коэффициенты положительны, а дискриминанты отрицательны, они принимают только положительные значения при любых $x$. Значит, ОДЗ — все действительные числа.

Оба найденных корня входят в ОДЗ и являются решениями уравнения.

Ответ: -1; 0,5.

в)

Дано уравнение $\sqrt{3x^2 + 5x - 1} = \sqrt{2x^2 + 2x - 3}$.

Возводим обе части в квадрат при условии, что подкоренные выражения неотрицательны:

$3x^2 + 5x - 1 = 2x^2 + 2x - 3$

$3x^2 - 2x^2 + 5x - 2x - 1 + 3 = 0$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Отсюда находим корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = -2$

Теперь необходимо выполнить проверку, так как возведение в квадрат могло привести к появлению посторонних корней. Подставим найденные корни в одно из неравенств, определяющих ОДЗ, например, $2x^2 + 2x - 3 \ge 0$.

Проверка для $x_1 = -1$:

$2(-1)^2 + 2(-1) - 3 = 2 \cdot 1 - 2 - 3 = -3$.

Так как $-3 < 0$, подкоренное выражение отрицательно, что недопустимо. Следовательно, $x_1 = -1$ является посторонним корнем.

Проверка для $x_2 = -2$:

$2(-2)^2 + 2(-2) - 3 = 2 \cdot 4 - 4 - 3 = 8 - 4 - 3 = 1$.

Так как $1 \ge 0$, подкоренное выражение неотрицательно. Следовательно, $x_2 = -2$ является решением уравнения.

Ответ: -2.

г)

Дано уравнение $\sqrt{6x^2 + x - 15} = \sqrt{x^2 - x + 1}$.

Возводим обе части в квадрат:

$6x^2 + x - 15 = x^2 - x + 1$

Переносим все члены в левую часть:

$6x^2 - x^2 + x + x - 15 - 1 = 0$

$5x^2 + 2x - 16 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(5)(-16) = 4 + 320 = 324 = 18^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 18}{2 \cdot 5} = \frac{16}{10} = 1,6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 18}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

Проверим ОДЗ. Рассмотрим выражение $x^2 - x + 1$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицательный, а ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), выражение $x^2 - x + 1$ всегда положительно. ОДЗ — все действительные числа.

Следовательно, оба найденных корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -2; 1,6.

33.18 a) $ \sqrt{2x^2 + 3x + 1} = x + 1; $

б) $ \sqrt{5x^2 - 3x + 2} = x - 3; $

в) $ \sqrt{x^2 + x + 1} = x + 2; $

г) $ \sqrt{3x^2 + x + 30} = x - 5. $

а) $\sqrt{2x^2 + 3x + 1} = x + 1$
Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение равно квадрату правой части, а правая часть неотрицательна:
$\begin{cases} 2x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^2, \\ x + 1 \ge 0. \end{cases}$
Сначала решим первое уравнение системы, возведя правую часть в квадрат и упростив выражение:
$2x^2 + 3x + 1 = x^2 + 2x + 1$
$2x^2 - x^2 + 3x - 2x + 1 - 1 = 0$
$x^2 + x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти корни второму условию системы: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Проверяем корень $x_1 = 0$: $0 \ge -1$. Условие выполняется, следовательно, $x=0$ является решением.
Проверяем корень $x_2 = -1$: $-1 \ge -1$. Условие выполняется, следовательно, $x=-1$ является решением.
Оба корня подходят.
Ответ: $-1; 0$.

б) $\sqrt{5x^2 - 3x + 2} = x - 3$
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 5x^2 - 3x + 2 = (x - 3)^2, \\ x - 3 \ge 0. \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$5x^2 - 3x + 2 = x^2 - 6x + 9$
$5x^2 - x^2 - 3x + 6x + 2 - 9 = 0$
$4x^2 + 3x - 7 = 0$
Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4} = -1.75$
$x_2 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Теперь проверим выполнение условия $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
Для $x_1 = -1.75$: $-1.75 \ge 3$ — неверно.
Для $x_2 = 1$: $1 \ge 3$ — неверно.
Оба найденных корня не удовлетворяют условию $x \ge 3$, следовательно, являются посторонними.
Ответ: нет корней.

в) $\sqrt{x^2 + x + 1} = x + 2$
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + x + 1 = (x + 2)^2, \\ x + 2 \ge 0. \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$x^2 + x + 1 = x^2 + 4x + 4$
$x - 4x = 4 - 1$
$-3x = 3$
$x = -1$
Проверим выполнение условия $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Для $x = -1$: $-1 \ge -2$ — верно.
Найденный корень удовлетворяет условию, следовательно, он является решением исходного уравнения.
Ответ: $-1$.

г) $\sqrt{3x^2 + x + 30} = x - 5$
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3x^2 + x + 30 = (x - 5)^2, \\ x - 5 \ge 0. \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$3x^2 + x + 30 = x^2 - 10x + 25$
$3x^2 - x^2 + x + 10x + 30 - 25 = 0$
$2x^2 + 11x + 5 = 0$
Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 = 9^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-11 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$
$x_2 = \frac{-11 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$
Теперь проверим выполнение условия $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.
Для $x_1 = -5$: $-5 \ge 5$ — неверно.
Для $x_2 = -0.5$: $-0.5 \ge 5$ — неверно.
Оба найденных корня не удовлетворяют условию $x \ge 5$, следовательно, являются посторонними.
Ответ: нет корней.

33.19 a) $\sqrt{x + 1} = 2 + \sqrt{x - 19}$;

б) $\sqrt{x + 8} = \sqrt{7x + 9} - 1$;

в) $\sqrt{x - 13} = \sqrt{x + 8} - 3$;

г) $\sqrt{3x - 5} = 1 + \sqrt{x - 2}$.

а) $\sqrt{x+1} = 2 + \sqrt{x-19}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-19 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 19 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 19$.

2. Уединим один из корней, перенеся другой в левую часть уравнения:
$\sqrt{x+1} - \sqrt{x-19} = 2$
При $x \ge 19$, левая часть уравнения положительна, так как $\sqrt{x+1} > \sqrt{x-19}$. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-19})^2 = 2^2$
$(x+1) - 2\sqrt{(x+1)(x-19)} + (x-19) = 4$
$2x - 18 - 2\sqrt{x^2 - 18x - 19} = 4$
Изолируем оставшийся корень:
$2x - 22 = 2\sqrt{x^2 - 18x - 19}$
Разделим обе части на 2:
$x - 11 = \sqrt{x^2 - 18x - 19}$

3. Прежде чем снова возвести в квадрат, убедимся, что левая часть неотрицательна. Для $x \ge 19$ имеем $x-11 \ge 19-11 = 8 > 0$. Следовательно, можно возводить в квадрат:
$(x-11)^2 = (\sqrt{x^2 - 18x - 19})^2$
$x^2 - 22x + 121 = x^2 - 18x - 19$
$-22x + 121 = -18x - 19$
$121 + 19 = -18x + 22x$
$140 = 4x$
$x = 35$

4. Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. $35 \ge 19$, условие выполняется.
Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{35+1} = \sqrt{36} = 6$
$2 + \sqrt{35-19} = 2 + \sqrt{16} = 2 + 4 = 6$
$6 = 6$. Решение верно.
Ответ: $35$

б) $\sqrt{x+8} = \sqrt{7x+9} - 1$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+8 \ge 0 \\ 7x+9 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -8 \\ x \ge -9/7 \end{cases}$.
Кроме того, левая часть уравнения неотрицательна (как арифметический корень), значит, и правая часть должна быть неотрицательной:
$\sqrt{7x+9} - 1 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{7x+9} \ge 1 \Rightarrow 7x+9 \ge 1 \Rightarrow 7x \ge -8 \Rightarrow x \ge -8/7$.
Объединяя все условия ($x \ge -9/7$ и $x \ge -8/7$), получаем ОДЗ: $x \ge -8/7$.

2. Уединим корень в правой части, перенеся -1 влево:
$\sqrt{x+8} + 1 = \sqrt{7x+9}$
Обе части уравнения неотрицательны, возводим в квадрат:
$(\sqrt{x+8} + 1)^2 = (\sqrt{7x+9})^2$
$(x+8) + 2\sqrt{x+8} + 1 = 7x+9$
$x+9+2\sqrt{x+8} = 7x+9$
$2\sqrt{x+8} = 6x$
$\sqrt{x+8} = 3x$

3. Левая часть неотрицательна, значит $3x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Это более сильное условие, чем ОДЗ. Возводим в квадрат:
$(\sqrt{x+8})^2 = (3x)^2$
$x+8 = 9x^2$
$9x^2 - x - 8 = 0$

4. Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8) = 1 + 288 = 289 = 17^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{18} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{18} = -\frac{16}{18} = -\frac{8}{9}$

5. Проверяем корни по условию $x \ge 0$.
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$.
$x_2 = -8/9$ не удовлетворяет условию $-8/9 \ge 0$, является посторонним корнем.
Проверка $x=1$ в исходном уравнении:
$\sqrt{1+8} = 3$
$\sqrt{7(1)+9} - 1 = \sqrt{16} - 1 = 4-1 = 3$
$3=3$. Решение верно.
Ответ: $1$

в) $\sqrt{x-13} = \sqrt{x+8} - 3$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-13 \ge 0 \\ x+8 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 13 \\ x \ge -8 \end{cases}$.
Также правая часть должна быть неотрицательной:
$\sqrt{x+8} - 3 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x+8} \ge 3 \Rightarrow x+8 \ge 9 \Rightarrow x \ge 1$.
Общее ОДЗ с учетом всех условий: $x \ge 13$.

2. Перенесем -3 влево и возведем в квадрат:
$\sqrt{x-13} + 3 = \sqrt{x+8}$
$(\sqrt{x-13} + 3)^2 = (\sqrt{x+8})^2$
$(x-13) + 6\sqrt{x-13} + 9 = x+8$
$x-4 + 6\sqrt{x-13} = x+8$
$6\sqrt{x-13} = 12$
$\sqrt{x-13} = 2$

3. Возведем в квадрат еще раз:
$(\sqrt{x-13})^2 = 2^2$
$x-13 = 4$
$x = 17$

4. Проверим корень. $x=17$ удовлетворяет ОДЗ ($17 \ge 13$).
Подставим в исходное уравнение:
$\sqrt{17-13} = \sqrt{4} = 2$
$\sqrt{17+8} - 3 = \sqrt{25} - 3 = 5 - 3 = 2$
$2=2$. Решение верно.
Ответ: $17$

г) $\sqrt{3x-5} = 1 + \sqrt{x-2}$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x-5 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 5/3 \\ x \ge 2 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 2$.

2. В области допустимых значений обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x-5})^2 = (1 + \sqrt{x-2})^2$
$3x-5 = 1 + 2\sqrt{x-2} + (x-2)$
$3x-5 = x-1 + 2\sqrt{x-2}$
$2x-4 = 2\sqrt{x-2}$
$x-2 = \sqrt{x-2}$

3. Мы получили уравнение вида $t = \sqrt{t}$, где $t=x-2$. Такое уравнение можно решить возведением в квадрат или заменой.
Возведем в квадрат (левая часть $x-2$ неотрицательна по ОДЗ):
$(x-2)^2 = x-2$
$(x-2)^2 - (x-2) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-2)$:
$(x-2)((x-2)-1) = 0$
$(x-2)(x-3) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x-2=0 \Rightarrow x=2$
$x-3=0 \Rightarrow x=3$

4. Оба найденных значения $x=2$ и $x=3$ принадлежат ОДЗ ($x \ge 2$).
Проверка для $x=2$:
$\sqrt{3(2)-5} = \sqrt{1} = 1$
$1 + \sqrt{2-2} = 1 + 0 = 1$. Верно.
Проверка для $x=3$:
$\sqrt{3(3)-5} = \sqrt{4} = 2$
$1 + \sqrt{3-2} = 1 + 1 = 2$. Верно.
Оба корня подходят.
Ответ: $2; 3$

33.20 a) $\sqrt{15 - x} + \sqrt{3 - x} = 6;$

б) $\sqrt{3x + 7} - \sqrt{x + 1} = 2;$

в) $\sqrt{x - 1} - \sqrt{6 - x} = 1;$

г) $\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3} = 2.$

а) $\sqrt{15-x} + \sqrt{3-x} = 6$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:
$15 - x \ge 0 \implies x \le 15$
$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \le 3$.

Теперь решим уравнение. Уединим один из радикалов, чтобы было удобнее возводить в квадрат:
$\sqrt{15-x} = 6 - \sqrt{3-x}$
Возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $6 - \sqrt{3-x} \ge 0$, что означает $\sqrt{3-x} \le 6$. Возведя в квадрат, получим $3-x \le 36$, откуда $x \ge -33$. Итак, решение должно лежать в промежутке $[-33, 3]$.
$(\sqrt{15-x})^2 = (6 - \sqrt{3-x})^2$
$15 - x = 36 - 12\sqrt{3-x} + (3-x)$
$15 - x = 39 - x - 12\sqrt{3-x}$

Упростим полученное выражение и снова уединим радикал:
$12\sqrt{3-x} = 39 - 15$
$12\sqrt{3-x} = 24$
$\sqrt{3-x} = 2$

Возведем обе части в квадрат еще раз:
$(\sqrt{3-x})^2 = 2^2$
$3 - x = 4$
$x = -1$

Проверим, соответствует ли найденный корень $x = -1$ ОДЗ ($x \le 3$) и дополнительному условию ($x \ge -33$). Корень подходит.
Подставим $x = -1$ в исходное уравнение для окончательной проверки:
$\sqrt{15 - (-1)} + \sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$.
$6 = 6$. Равенство верное.

Ответ: $-1$.

б) $\sqrt{3x+7} - \sqrt{x+1} = 2$

Найдем ОДЗ:
$3x + 7 \ge 0 \implies 3x \ge -7 \implies x \ge -7/3$
$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$
Пересечение условий дает ОДЗ: $x \ge -1$.

Уединим один из радикалов:
$\sqrt{3x+7} = 2 + \sqrt{x+1}$
Поскольку правая часть уравнения в ОДЗ всегда положительна, можно без дополнительных условий возводить обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x+7})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$
$3x+7 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$
$3x+7 = 5 + x + 4\sqrt{x+1}$

Упростим и уединим оставшийся радикал:
$2x + 2 = 4\sqrt{x+1}$
$x + 1 = 2\sqrt{x+1}$

Возведем обе части в квадрат. Условие $x+1 \ge 0$ совпадает с нашим ОДЗ.
$(x+1)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$
$(x+1)^2 = 4(x+1)$
$(x+1)^2 - 4(x+1) = 0$
$(x+1)(x+1-4) = 0$
$(x+1)(x-3) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($x \ge -1$). Проверим их подстановкой в исходное уравнение.
Для $x = -1$: $\sqrt{3(-1)+7} - \sqrt{-1+1} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2 - 0 = 2$. Верно.
Для $x = 3$: $\sqrt{3(3)+7} - \sqrt{3+1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$. Верно.

Ответ: $-1; 3$.

в) $\sqrt{x-1} - \sqrt{6-x} = 1$

Найдем ОДЗ:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$
$6 - x \ge 0 \implies x \le 6$
ОДЗ: $x \in [1, 6]$.

Уединим один из радикалов:
$\sqrt{x-1} = 1 + \sqrt{6-x}$
Правая часть всегда положительна. Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (1 + \sqrt{6-x})^2$
$x - 1 = 1 + 2\sqrt{6-x} + (6-x)$
$x - 1 = 7 - x + 2\sqrt{6-x}$

Упростим и уединим радикал:
$2x - 8 = 2\sqrt{6-x}$
$x - 4 = \sqrt{6-x}$
Для возведения в квадрат необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной: $x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$. С учетом ОДЗ, искомый корень должен лежать в промежутке $[4, 6]$.
Возведем в квадрат:
$(x - 4)^2 = (\sqrt{6-x})^2$
$x^2 - 8x + 16 = 6 - x$
$x^2 - 7x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Проверим корни с учетом условия $x \ge 4$.
$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$, следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 4$. Проверим его подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{5-1} - \sqrt{6-5} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$. Верно.

Ответ: $5$.

г) $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = 2$

Найдем ОДЗ:
$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$
ОДЗ: $x \in [2, \infty)$.

Рассмотрим левую часть уравнения как функцию $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{x+3}$. Так как обе функции $\sqrt{x-2}$ и $\sqrt{x+3}$ являются возрастающими на ОДЗ, их сумма $f(x)$ также является возрастающей функцией.
Найдем наименьшее значение функции $f(x)$ на ее области определения, которое достигается в точке $x=2$:
$f(2) = \sqrt{2-2} + \sqrt{2+3} = \sqrt{0} + \sqrt{5} = \sqrt{5}$.
Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $\sqrt{5} > 2$.
Это означает, что для любого $x$ из ОДЗ значение левой части уравнения не меньше $\sqrt{5}$ и, следовательно, всегда больше 2.
$\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} \ge \sqrt{5} > 2$.
Равенство $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = 2$ не может быть достигнуто.

Также можно прийти к этому выводу алгебраически. Уединим радикал:
$\sqrt{x+3} = 2 - \sqrt{x-2}$
Возведем в квадрат, при условии $2 - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies \sqrt{x-2} \le 2 \implies x-2 \le 4 \implies x \le 6$.
$x+3 = (2 - \sqrt{x-2})^2$
$x+3 = 4 - 4\sqrt{x-2} + x-2$
$x+3 = 2+x - 4\sqrt{x-2}$
$1 = -4\sqrt{x-2}$
$\sqrt{x-2} = -1/4$
Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.