Страница 181, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

32.11 a) $-x^2 + 16x - 15;$

б) $-x^2 - 8x + 9;$

B) $-x^2 + 5x - 6;$

г) $-x^2 + 7x + 8.$

а) $-x^2 + 16x - 15$

Для того чтобы разложить данный квадратный трехчлен на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $-x^2 + 16x - 15 = 0$.

Сначала умножим обе части уравнения на -1 для удобства вычислений:

$x^2 - 16x + 15 = 0$

Теперь найдем корни получившегося приведенного квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Для уравнения $x^2 - 16x + 15 = 0$ коэффициенты равны: $a=1, b=-16, c=15$.

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{16 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 14}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{16 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 14}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Теперь используем формулу разложения квадратного трехчлена на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. В исходном трехчлене $-x^2 + 16x - 15$ старший коэффициент $a = -1$.

Подставляем значения: $-x^2 + 16x - 15 = -1(x - 1)(x - 15) = -(x - 1)(x - 15)$.

Ответ: $-(x - 1)(x - 15)$.

б) $-x^2 - 8x + 9$

Найдем корни квадратного уравнения $-x^2 - 8x + 9 = 0$. Умножим уравнение на -1:

$x^2 + 8x - 9 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=8, c=-9$):

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Разложим исходный трехчлен на множители, используя $a=-1$:

$-x^2 - 8x + 9 = -1(x - (-9))(x - 1) = -(x + 9)(x - 1)$.

Ответ: $-(x + 9)(x - 1)$.

в) $-x^2 + 5x - 6$

Найдем корни квадратного уравнения $-x^2 + 5x - 6 = 0$. Умножим уравнение на -1:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=-5, c=6$):

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Разложим исходный трехчлен на множители, используя $a=-1$:

$-x^2 + 5x - 6 = -1(x - 2)(x - 3) = -(x - 2)(x - 3)$.

Ответ: $-(x - 2)(x - 3)$.

г) $-x^2 + 7x + 8$

Найдем корни квадратного уравнения $-x^2 + 7x + 8 = 0$. Умножим уравнение на -1:

$x^2 - 7x - 8 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=-7, c=-8$):

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Разложим исходный трехчлен на множители, используя $a=-1$:

$-x^2 + 7x + 8 = -1(x - (-1))(x - 8) = -(x + 1)(x - 8)$.

Ответ: $-(x + 1)(x - 8)$.

32.12 a) $3x^2 + 5x - 2;$

б) $6x^2 + 5x + 1;$

в) $5x^2 + 2x - 3;$

г) $15x^2 - 8x + 1.$

а) Чтобы разложить квадратный трехчлен $3x^2 + 5x - 2$ на множители, нужно найти его корни, решив квадратное уравнение $3x^2 + 5x - 2 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$3x^2 + 5x - 2 = 3(x - (-2))(x - \frac{1}{3}) = 3(x + 2)(x - \frac{1}{3})$

Внесем множитель 3 в скобку с дробью:

$(x + 2)(3(x - \frac{1}{3})) = (x + 2)(3x - 1)$

Ответ: $(x + 2)(3x - 1)$

б) Разложим на множители трехчлен $6x^2 + 5x + 1$. Для этого решим уравнение $6x^2 + 5x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 = 1^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$6x^2 + 5x + 1 = 6(x - (-\frac{1}{2}))(x - (-\frac{1}{3})) = 6(x + \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})$

Представим множитель 6 как $2 \cdot 3$ и внесем каждый множитель в соответствующую скобку:

$2(x + \frac{1}{2}) \cdot 3(x + \frac{1}{3}) = (2x + 1)(3x + 1)$

Ответ: $(2x + 1)(3x + 1)$

в) Разложим на множители трехчлен $5x^2 + 2x - 3$. Решим уравнение $5x^2 + 2x - 3 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

$x_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$5x^2 + 2x - 3 = 5(x - (-1))(x - \frac{3}{5}) = 5(x + 1)(x - \frac{3}{5})$

Внесем множитель 5 во вторую скобку:

$(x + 1)(5(x - \frac{3}{5})) = (x + 1)(5x - 3)$

Ответ: $(x + 1)(5x - 3)$

г) Разложим на множители трехчлен $15x^2 - 8x + 1$. Решим уравнение $15x^2 - 8x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 1 = 64 - 60 = 4 = 2^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{8 - 2}{2 \cdot 15} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$15x^2 - 8x + 1 = 15(x - \frac{1}{5})(x - \frac{1}{3})$

Представим множитель 15 как $5 \cdot 3$ и внесем каждый множитель в соответствующую скобку:

$5(x - \frac{1}{5}) \cdot 3(x - \frac{1}{3}) = (5x - 1)(3x - 1)$

Ответ: $(5x - 1)(3x - 1)$

32.13 a) $-3x^2 - 8x + 3;$

б) $-5x^2 + 6x - 1;$

в) $-2x^2 + 9x - 4;$

г) $-4x^2 - 3x + 85.$

а)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $-3x^2 - 8x + 3$, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $-3x^2 - 8x + 3 = 0$.

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на -1:

$3x^2 + 8x - 3 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. Для исходного трехчлена коэффициент $a = -3$.

$-3x^2 - 8x + 3 = -3(x - \frac{1}{3})(x - (-3)) = -3(x - \frac{1}{3})(x + 3)$

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель -3 в первую скобку:

$(-3 \cdot (x - \frac{1}{3}))(x + 3) = (-3x + 1)(x + 3) = (1 - 3x)(x + 3)$

Ответ: $(1 - 3x)(x + 3)$

б)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $-5x^2 + 6x - 1$, решим уравнение $-5x^2 + 6x - 1 = 0$.

Умножим уравнение на -1:

$5x^2 - 6x + 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Используем формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ с исходным коэффициентом $a = -5$.

$-5x^2 + 6x - 1 = -5(x - 1)(x - \frac{1}{5})$

Внесем множитель -5 во вторую скобку:

$(x - 1)(-5 \cdot (x - \frac{1}{5})) = (x - 1)(-5x + 1) = (x - 1)(1 - 5x)$

Ответ: $(x - 1)(1 - 5x)$

в)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $-2x^2 + 9x - 4$, решим уравнение $-2x^2 + 9x - 4 = 0$.

Умножим уравнение на -1:

$2x^2 - 9x + 4 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$x_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Используем формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ с исходным коэффициентом $a = -2$.

$-2x^2 + 9x - 4 = -2(x - 4)(x - \frac{1}{2})$

Внесем множитель -2 во вторую скобку:

$(x - 4)(-2 \cdot (x - \frac{1}{2})) = (x - 4)(-2x + 1) = (x - 4)(1 - 2x)$

Ответ: $(x - 4)(1 - 2x)$

г)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $-4x^2 - 3x + 85$, решим уравнение $-4x^2 - 3x + 85 = 0$.

Умножим уравнение на -1:

$4x^2 + 3x - 85 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-85) = 9 + 16 \cdot 85 = 9 + 1360 = 1369$

$\sqrt{1369} = 37$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + 37}{2 \cdot 4} = \frac{34}{8} = \frac{17}{4}$

$x_2 = \frac{-3 - 37}{2 \cdot 4} = \frac{-40}{8} = -5$

Используем формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ с исходным коэффициентом $a = -4$.

$-4x^2 - 3x + 85 = -4(x - \frac{17}{4})(x - (-5)) = -4(x - \frac{17}{4})(x + 5)$

Внесем множитель -4 в первую скобку:

$(-4 \cdot (x - \frac{17}{4}))(x + 5) = (-4x + 17)(x + 5) = (17 - 4x)(x + 5)$

Ответ: $(17 - 4x)(x + 5)$

Сократите дробь:

32.14 a) $ \frac{x+4}{x^2+7x+12} $

б) $ \frac{3x^2-10x+3}{x^2-3x} $

в) $ \frac{x+1}{x^2+4x+3} $

г) $ \frac{5x^2+x-4}{x^2+x} $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x+4}{x^2+7x+12}$, необходимо разложить знаменатель на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2+7x+12$, приравняв его к нулю.

Решим уравнение $x^2+7x+12=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

По формуле разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ получаем:
$x^2+7x+12 = (x - (-4))(x - (-3)) = (x+4)(x+3)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь и выполним сокращение:
$\frac{x+4}{x^2+7x+12} = \frac{x+4}{(x+4)(x+3)} = \frac{1}{x+3}$ (при условии $x \neq -4$).

Ответ: $\frac{1}{x+3}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{3x^2-10x+3}{x^2-3x}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Сначала разложим числитель $3x^2-10x+3$. Найдем корни уравнения $3x^2-10x+3=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Разложение числителя: $3(x-\frac{1}{3})(x-3) = (3x-1)(x-3)$.

Теперь разложим знаменатель $x^2-3x$, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $x^2-3x = x(x-3)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x-3)$:
$\frac{3x^2-10x+3}{x^2-3x} = \frac{(3x-1)(x-3)}{x(x-3)} = \frac{3x-1}{x}$ (при условии $x \neq 3$ и $x \neq 0$).

Ответ: $\frac{3x-1}{x}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{x+1}{x^2+4x+3}$, разложим на множители знаменатель $x^2+4x+3$.

Найдем корни уравнения $x^2+4x+3=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Разложение знаменателя: $(x - (-3))(x - (-1)) = (x+3)(x+1)$.

Подставим разложение в дробь и сократим:
$\frac{x+1}{x^2+4x+3} = \frac{x+1}{(x+3)(x+1)} = \frac{1}{x+3}$ (при условии $x \neq -1$).

Ответ: $\frac{1}{x+3}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{5x^2+x-4}{x^2+x}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $5x^2+x-4$, найдя корни уравнения $5x^2+x-4=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1-9}{10} = -1$.
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Разложение числителя: $5(x-(-1))(x-\frac{4}{5}) = 5(x+1)(x-\frac{4}{5}) = (x+1)(5x-4)$.

Разложим знаменатель $x^2+x$, вынеся $x$ за скобки: $x^2+x = x(x+1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x+1)$:
$\frac{5x^2+x-4}{x^2+x} = \frac{(x+1)(5x-4)}{x(x+1)} = \frac{5x-4}{x}$ (при условии $x \neq -1$ и $x \neq 0$).

Ответ: $\frac{5x-4}{x}$.

32.15 а) $ \frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1} $

б) $ \frac{9x^2 - 1}{3x^2 - 8x - 3} $

в) $ \frac{2x^2 + 7x - 4}{x^2 - 16} $

г) $ \frac{4x^2 - 1}{2x^2 - 9x - 5} $

а)

Чтобы сократить дробь $ \frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель $ 2x^2 + 9x + 7 $. Для этого найдем корни квадратного уравнения $ 2x^2 + 9x + 7 = 0 $.
Вычислим дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25 $.
Найдем корни: $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 5}{4} = -1 $.
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 5}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2} $ .
Разложение на множители имеет вид $ a(x-x_1)(x-x_2) $, поэтому $ 2x^2 + 9x + 7 = 2(x - (-1))(x - (-\frac{7}{2})) = 2(x+1)(x+\frac{7}{2}) = (x+1)(2x+7) $.

2. Разложим знаменатель $ x^2 - 1 $ по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) $.

3. Подставим разложенные выражения в исходную дробь и сократим общий множитель $ (x+1) $:
$ \frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1} = \frac{(2x+7)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x+7}{x-1} $.

Ответ: $ \frac{2x+7}{x-1} $.

б)

Чтобы сократить дробь $ \frac{9x^2 - 1}{3x^2 - 8x - 3} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Числитель $ 9x^2 - 1 $ является разностью квадратов:
$ 9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1) $.

2. Разложим знаменатель $ 3x^2 - 8x - 3 $, найдя корни уравнения $ 3x^2 - 8x - 3 = 0 $.
Дискриминант: $ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 $.
Корни: $ x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 $.
$ x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $ .
Следовательно, $ 3x^2 - 8x - 3 = 3(x-3)(x-(-\frac{1}{3})) = 3(x-3)(x+\frac{1}{3}) = (x-3)(3x+1) $.

3. Подставим полученные разложения в дробь и сократим:
$ \frac{9x^2 - 1}{3x^2 - 8x - 3} = \frac{(3x-1)(3x+1)}{(x-3)(3x+1)} = \frac{3x-1}{x-3} $.

Ответ: $ \frac{3x-1}{x-3} $.

в)

Сократим дробь $ \frac{2x^2 + 7x - 4}{x^2 - 16} $, разложив числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель $ 2x^2 + 7x - 4 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2 + 7x - 4 = 0 $.
Дискриминант: $ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.
$ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = -\frac{16}{4} = -4 $ .
Таким образом, $ 2x^2 + 7x - 4 = 2(x-\frac{1}{2})(x-(-4)) = 2(x-\frac{1}{2})(x+4) = (2x-1)(x+4) $.

2. Знаменатель $ x^2 - 16 $ разложим по формуле разности квадратов:
$ x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4) $.

3. Подставим разложения в дробь и выполним сокращение:
$ \frac{2x^2 + 7x - 4}{x^2 - 16} = \frac{(2x-1)(x+4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x-1}{x-4} $.

Ответ: $ \frac{2x-1}{x-4} $.

г)

Сократим дробь $ \frac{4x^2 - 1}{2x^2 - 9x - 5} $. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Числитель $ 4x^2 - 1 $ является разностью квадратов:
$ 4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x-1)(2x+1) $.

2. Разложим знаменатель $ 2x^2 - 9x - 5 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2 - 9x - 5 = 0 $.
Дискриминант: $ D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 $.
Корни: $ x_1 = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5 $.
$ x_2 = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $ .
Следовательно, $ 2x^2 - 9x - 5 = 2(x-5)(x-(-\frac{1}{2})) = 2(x-5)(x+\frac{1}{2}) = (x-5)(2x+1) $.

3. Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель:
$ \frac{4x^2 - 1}{2x^2 - 9x - 5} = \frac{(2x-1)(2x+1)}{(x-5)(2x+1)} = \frac{2x-1}{x-5} $.

Ответ: $ \frac{2x-1}{x-5} $.

32.16 а) $\frac{x^2 - 8x + 15}{x^2 + 7x - 30}$;

б) $\frac{6x^2 + 7x - 3}{2 - x - 15x^2}$;

в) $\frac{6x^2 - 19x + 13}{2x^2 + 7x - 9}$;

г) $\frac{21x^2 + x - 2}{2 + 5x - 3x^2}$.

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 8x + 15}{x^2 + 7x - 30}$, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель. Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Разложим на множители числитель $x^2 - 8x + 15$.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 15$. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Таким образом, $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 + 7x - 30$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + 7x - 30 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
Найдем корни: $x_1 = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.
Таким образом, $x^2 + 7x - 30 = (x - 3)(x - (-10)) = (x - 3)(x + 10)$.

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{x^2 - 8x + 15}{x^2 + 7x - 30} = \frac{(x - 3)(x - 5)}{(x - 3)(x + 10)} = \frac{x - 5}{x + 10}$.
Сокращение возможно при условии, что $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Ответ: $\frac{x - 5}{x + 10}$

Чтобы сократить дробь $\frac{6x^2 + 7x - 3}{2 - x - 15x^2}$, разложим на множители её числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $6x^2 + 7x - 3$.
Решим уравнение $6x^2 + 7x - 3 = 0$.
$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$.
Таким образом, $6x^2 + 7x - 3 = 6(x - \frac{1}{3})(x + \frac{3}{2}) = 3(x - \frac{1}{3}) \cdot 2(x + \frac{3}{2}) = (3x - 1)(2x + 3)$.

2. Разложим на множители знаменатель $2 - x - 15x^2$.
Перепишем его в стандартном виде: $-15x^2 - x + 2$. Вынесем минус за скобки: $-(15x^2 + x - 2)$.
Решим уравнение $15x^2 + x - 2 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{-1 - 11}{30} = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5}$.
Таким образом, $15x^2 + x - 2 = 15(x - \frac{1}{3})(x + \frac{2}{5}) = 3(x - \frac{1}{3}) \cdot 5(x + \frac{2}{5}) = (3x - 1)(5x + 2)$.
Следовательно, $2 - x - 15x^2 = -(3x - 1)(5x + 2)$.

3. Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{6x^2 + 7x - 3}{2 - x - 15x^2} = \frac{(3x - 1)(2x + 3)}{-(3x - 1)(5x + 2)} = -\frac{2x + 3}{5x + 2}$.
Сокращение возможно при $x \neq \frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{2x + 3}{5x + 2}$

Сократим дробь $\frac{6x^2 - 19x + 13}{2x^2 + 7x - 9}$.

1. Разложим на множители числитель $6x^2 - 19x + 13$.
Решим уравнение $6x^2 - 19x + 13 = 0$. Сумма коэффициентов $6 - 19 + 13 = 0$, значит, один из корней $x_1 = 1$.
По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, то есть $1 \cdot x_2 = \frac{13}{6}$, откуда $x_2 = \frac{13}{6}$.
Следовательно, $6x^2 - 19x + 13 = 6(x-1)(x-\frac{13}{6}) = (x-1)(6x-13)$.

2. Разложим на множители знаменатель $2x^2 + 7x - 9$.
Решим уравнение $2x^2 + 7x - 9 = 0$. Сумма коэффициентов $2 + 7 - 9 = 0$, значит, один из корней $x_1 = 1$.
По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, то есть $1 \cdot x_2 = \frac{-9}{2}$, откуда $x_2 = -\frac{9}{2}$.
Следовательно, $2x^2 + 7x - 9 = 2(x-1)(x-(-\frac{9}{2})) = 2(x-1)(x+\frac{9}{2}) = (x-1)(2x+9)$.

3. Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{6x^2 - 19x + 13}{2x^2 + 7x - 9} = \frac{(x-1)(6x-13)}{(x-1)(2x+9)} = \frac{6x-13}{2x+9}$.
Сокращение возможно при $x \neq 1$.

Ответ: $\frac{6x - 13}{2x + 9}$

Сократим дробь $\frac{21x^2 + x - 2}{2 + 5x - 3x^2}$.

1. Разложим на множители числитель $21x^2 + x - 2$.
Решим уравнение $21x^2 + x - 2 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-2) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 21} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$, $x_2 = \frac{-1 - 13}{42} = \frac{-14}{42} = -\frac{1}{3}$.
Таким образом, $21x^2 + x - 2 = 21(x - \frac{2}{7})(x + \frac{1}{3}) = 7(x - \frac{2}{7}) \cdot 3(x + \frac{1}{3}) = (7x - 2)(3x + 1)$.

2. Разложим на множители знаменатель $2 + 5x - 3x^2$.
Перепишем его как $-(3x^2 - 5x - 2)$. Решим уравнение $3x^2 - 5x - 2 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$, $x_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Таким образом, $3x^2 - 5x - 2 = 3(x - 2)(x + \frac{1}{3}) = (x - 2)(3x + 1)$.
Следовательно, $2 + 5x - 3x^2 = -(x - 2)(3x + 1) = (2 - x)(3x + 1)$.

3. Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{21x^2 + x - 2}{2 + 5x - 3x^2} = \frac{(7x - 2)(3x + 1)}{(2 - x)(3x + 1)} = \frac{7x - 2}{2 - x}$.
Сокращение возможно при $x \neq -\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{7x - 2}{2 - x}$

Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения:

32.17 а) $x^2 + 3x + 2 = 0;$

б) $x^2 - 15x + 14 = 0;$

в) $x^2 + 8x + 7 = 0;$

г) $x^2 - 19x + 18 = 0.$

Для решения данных квадратных уравнений, не используя формулу корней, можно применить теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета утверждает, что сумма корней ($x_1$ и $x_2$) равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Решим каждое уравнение, используя этот метод.

В уравнении $x^2 + 3x + 2 = 0$ коэффициенты равны $p=3$ и $q=2$.

Согласно теореме Виета, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -3$

$x_1 \cdot x_2 = 2$

Методом подбора находим, что этими числами являются -1 и -2. Проверим:

$(-1) + (-2) = -3$

$(-1) \cdot (-2) = 2$

Оба условия выполняются, следовательно, это корни уравнения.

Ответ: -2; -1.

В уравнении $x^2 - 15x + 14 = 0$ коэффициенты равны $p=-15$ и $q=14$.

Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(-15) = 15$

$x_1 \cdot x_2 = 14$

Подбором находим, что этими числами являются 1 и 14. Проверим:

$1 + 14 = 15$

$1 \cdot 14 = 14$

Условия верны. Корни найдены правильно.

Ответ: 1; 14.

В уравнении $x^2 + 8x + 7 = 0$ коэффициенты равны $p=8$ и $q=7$.

Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -8$

$x_1 \cdot x_2 = 7$

Подбором находим, что этими числами являются -1 и -7. Проверим:

$(-1) + (-7) = -8$

$(-1) \cdot (-7) = 7$

Условия выполняются, корни найдены верно.

Ответ: -7; -1.

В уравнении $x^2 - 19x + 18 = 0$ коэффициенты равны $p=-19$ и $q=18$.

Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(-19) = 19$

$x_1 \cdot x_2 = 18$

Подбором находим, что этими числами являются 1 и 18. Проверим:

$1 + 18 = 19$

$1 \cdot 18 = 18$

Условия верны. Корни найдены правильно.

Ответ: 1; 18.

32.18 a) $x^2 + 3x - 4 = 0;$

б) $x^2 - 10x - 11 = 0;$

в) $x^2 - 9x - 10 = 0;$

г) $x^2 + 8x - 9 = 0.$

а) $x^2 + 3x - 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=3$, $c=-4$.
Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Можно также решить это уравнение, используя свойство коэффициентов. Так как сумма коэффициентов $a+b+c = 1+3-4=0$, то один из корней равен 1, а второй равен $\frac{c}{a}$.
$x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-4}{1} = -4$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -4$.

б) $x^2 - 10x - 11 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-10$, $c=-11$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$.

$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Также можно применить свойство коэффициентов. Так как выполняется соотношение $a-b+c = 1-(-10)+(-11)=1+10-11=0$, то один из корней равен -1, а второй равен $-\frac{c}{a}$.
$x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{-11}{1} = 11$.

Ответ: $x_1 = 11, x_2 = -1$.

в) $x^2 - 9x - 10 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-9$, $c=-10$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

В данном случае также выполняется соотношение $a-b+c = 1-(-9)+(-10)=1+9-10=0$. Поэтому один из корней равен -1, а второй равен $-\frac{c}{a}$.
$x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{-10}{1} = 10$.

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = -1$.

г) $x^2 + 8x - 9 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=8$, $c=-9$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.

В данном случае сумма коэффициентов $a+b+c = 1+8-9=0$. Поэтому один из корней равен 1, а второй равен $\frac{c}{a}$.
$x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-9}{1} = -9$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -9$.

32.19 a) $x^2 + 9x + 20 = 0$;

б) $x^2 - 15x + 36 = 0$;

в) $x^2 + 5x - 14 = 0$;

г) $x^2 - 7x - 30 = 0$.

а) $x^2 + 9x + 20 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=9$, $c=20$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: $-5; -4$.

б) $x^2 - 15x + 36 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-15$, $c=36$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-15) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-15) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Ответ: $3; 12$.

В) $x^2 + 5x - 14 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=5$, $c=-14$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $-7; 2$.

Г) $x^2 - 7x - 30 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-7$, $c=-30$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Ответ: $-3; 10$.