Страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

30.27 Токарь должен был обработать 120 деталей к определённому сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать в час на 20 деталей больше и поэтому закончил работу на 1 ч раньше срока. Сколько деталей в час он должен был обрабатывать по плану?

Пусть $x$ деталей в час — это производительность, которую токарь должен был иметь по плану. Тогда время, за которое он должен был обработать 120 деталей, составляет $\frac{120}{x}$ часов.

Применив новый резец, токарь стал обрабатывать на 20 деталей в час больше, то есть его новая производительность стала $x + 20$ деталей в час. Время, которое он фактически затратил на обработку 120 деталей, составило $\frac{120}{x + 20}$ часов.

По условию задачи, он закончил работу на 1 час раньше срока. Это означает, что плановое время больше фактического на 1 час. Составим уравнение:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 20)$. Учитываем, что $x > 0$, так как производительность не может быть отрицательной или равной нулю.

$\frac{120(x + 20) - 120x}{x(x + 20)} = 1$

$\frac{120x + 2400 - 120x}{x^2 + 20x} = 1$

$\frac{2400}{x^2 + 20x} = 1$

$x^2 + 20x = 2400$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 20x - 2400 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 100}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 100}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку производительность $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, плановая производительность токаря составляет 40 деталей в час.

Ответ: 40 деталей в час.

30.28 Бригада должна была изготовить 120 изделий к определённому сроку. Однако она изготовляла в день на 2 изделия больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончила работу на 3 дня раньше срока. Сколько изделий в день должна была изготовлять бригада по плану?

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ — это количество изделий, которое бригада должна была изготовлять в день по плану. Тогда плановое время для изготовления 120 изделий составляет $\frac{120}{x}$ дней.

По условию, бригада изготовляла в день на 2 изделия больше, чем предполагалось. Следовательно, фактическая производительность бригады составила $(x+2)$ изделия в день.

Фактическое время, затраченное на изготовление 120 изделий, равно $\frac{120}{x+2}$ дней.

Известно, что работа была закончена на 3 дня раньше срока. Это означает, что разница между плановым и фактическим временем составляет 3 дня. На основе этого составим уравнение:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x+2} = 3$

Решим это уравнение. Важно отметить, что по смыслу задачи $x$ должно быть положительным числом ($x > 0$).

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{120(x+2) - 120x}{x(x+2)} = 3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{120x + 240 - 120x}{x^2 + 2x} = 3$

Упростим числитель:

$\frac{240}{x^2 + 2x} = 3$

Теперь, зная что $x \neq 0$ и $x \neq -2$, мы можем умножить обе части на знаменатель:

$240 = 3(x^2 + 2x)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$80 = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 80 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Корень $x_1 = -10$ не удовлетворяет условию задачи, так как количество изделий, изготовляемых в день, не может быть отрицательным. Следовательно, единственным подходящим решением является $x = 8$.

Проверим решение:
Плановая производительность: 8 изделий в день. Плановое время: $120 / 8 = 15$ дней.
Фактическая производительность: $8 + 2 = 10$ изделий в день. Фактическое время: $120 / 10 = 12$ дней.
Разница во времени: $15 - 12 = 3$ дня. Решение верное.

Ответ: 8 изделий в день должна была изготовлять бригада по плану.

30.29 Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 3. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю 5, то дробь увеличится на $ \frac{1}{2} $. Найдите эту дробь.

Обозначим числитель исходной дроби через $x$. Согласно условию, знаменатель этой дроби на 3 больше числителя, следовательно, он равен $x+3$. Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x}{x+3}$.

Если к числителю прибавить 7, то новый числитель станет $x+7$. Если к знаменателю прибавить 5, то новый знаменатель станет $(x+3)+5 = x+8$. Новая дробь будет равна $\frac{x+7}{x+8}$.

По условию задачи, новая дробь на $\frac{1}{2}$ больше исходной. На основании этого составим уравнение:

$\frac{x+7}{x+8} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2}$

Для решения уравнения перенесем дробь с переменной в левую часть:

$\frac{x+7}{x+8} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{2}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+8)(x+3)$.

$\frac{(x+7)(x+3) - x(x+8)}{(x+8)(x+3)} = \frac{1}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе левой части:

$\frac{x^2 + 3x + 7x + 21 - (x^2 + 8x)}{x^2 + 3x + 8x + 24} = \frac{1}{2}$

$\frac{x^2 + 10x + 21 - x^2 - 8x}{x^2 + 11x + 24} = \frac{1}{2}$

$\frac{2x + 21}{x^2 + 11x + 24} = \frac{1}{2}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение). Область допустимых значений $x \neq -3$ и $x \neq -8$.

$2(2x + 21) = 1(x^2 + 11x + 24)$

$4x + 42 = x^2 + 11x + 24$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 11x - 4x + 24 - 42 = 0$

$x^2 + 7x - 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $-18$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -9$

Оба корня входят в область допустимых значений. Теперь найдем соответствующие дроби.

1. Если $x=2$, то числитель равен 2, а знаменатель равен $2+3=5$. Исходная дробь — $\frac{2}{5}$.

Проверка: новая дробь равна $\frac{2+7}{5+5} = \frac{9}{10}$. Разность между новой и исходной дробью: $\frac{9}{10} - \frac{2}{5} = \frac{9-4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Условие выполняется.

2. Если $x=-9$, то числитель равен -9, а знаменатель равен $-9+3=-6$. Исходная дробь — $\frac{-9}{-6}$ (или $\frac{3}{2}$).

Проверка: новая дробь равна $\frac{-9+7}{-6+5} = \frac{-2}{-1} = 2$. Разность между новой и исходной дробью: $2 - \frac{-9}{-6} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$. Условие также выполняется.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $\frac{2}{5}$ или $\frac{-9}{-6}$.

30.30 Числитель несократимой обыкновенной дроби на 5 меньше её знаменателя. Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то дробь уменьшится на $\frac{1}{3}$. Найдите эту дробь.

Пусть знаменатель искомой несократимой дроби равен $x$. По условию, числитель на 5 меньше знаменателя, значит, он равен $x - 5$. Исходная дробь имеет вид $\frac{x-5}{x}$.

Если числитель уменьшить на 2, он станет равен $(x - 5) - 2 = x - 7$. Если знаменатель увеличить на 16, он станет равен $x + 16$. Новая дробь будет равна $\frac{x-7}{x+16}$.

Известно, что после этих изменений дробь уменьшилась на $\frac{1}{3}$. Это означает, что разность между исходной и новой дробью равна $\frac{1}{3}$. Составим уравнение:

$\frac{x-5}{x} - \frac{x-7}{x+16} = \frac{1}{3}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+16)$:

$\frac{(x-5)(x+16) - x(x-7)}{x(x+16)} = \frac{1}{3}$

Раскроем скобки и упростим числитель левой части:

$\frac{(x^2 + 16x - 5x - 80) - (x^2 - 7x)}{x^2 + 16x} = \frac{1}{3}$

$\frac{x^2 + 11x - 80 - x^2 + 7x}{x^2 + 16x} = \frac{1}{3}$

$\frac{18x - 80}{x^2 + 16x} = \frac{1}{3}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(18x - 80) = 1(x^2 + 16x)$

$54x - 240 = x^2 + 16x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 16x - 54x + 240 = 0$

$x^2 - 38x + 240 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 1444 - 960 = 484$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$.

$x_1 = \frac{-(-38) + 22}{2 \cdot 1} = \frac{38 + 22}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-(-38) - 22}{2 \cdot 1} = \frac{38 - 22}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Мы получили два возможных значения для знаменателя. Проверим каждое из них согласно условию, что исходная дробь является несократимой.

1. Если $x=30$, то числитель равен $30-5=25$. Дробь равна $\frac{25}{30}$. Эта дробь сократима, так как и числитель, и знаменатель делятся на 5. Следовательно, это решение не удовлетворяет условию задачи.

2. Если $x=8$, то числитель равен $8-5=3$. Дробь равна $\frac{3}{8}$. Эта дробь несократима, так как числа 3 и 8 не имеют общих делителей, кроме 1. Это решение удовлетворяет условию.

Проверим выполнение второго условия для дроби $\frac{3}{8}$.

Новый числитель: $3 - 2 = 1$.

Новый знаменатель: $8 + 16 = 24$.

Новая дробь: $\frac{1}{24}$.

Разность дробей: $\frac{3}{8} - \frac{1}{24} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{1}{24} = \frac{9}{24} - \frac{1}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

Условие выполняется. Значит, искомая дробь — $\frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

30.31 Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше её знаменателя. Если из числителя и знаменателя вычесть 1, то дробь уменьшится на $ \frac{1}{12} $. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Из первого условия задачи, что числитель на 1 меньше знаменателя, следует уравнение:
$x = y - 1$

Второе условие гласит, что если из числителя и знаменателя вычесть 1, то дробь уменьшится на $\frac{1}{12}$. Новая дробь будет равна $\frac{x-1}{y-1}$. Составим уравнение на основе этого условия:
$\frac{x}{y} - \frac{x-1}{y-1} = \frac{1}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Чтобы ее решить, подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$\frac{y-1}{y} - \frac{(y-1)-1}{y-1} = \frac{1}{12}$
Упростим левую часть уравнения:
$\frac{y-1}{y} - \frac{y-2}{y-1} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y(y-1)$. При этом $y \ne 0$ и $y \ne 1$.
$\frac{(y-1)(y-1) - y(y-2)}{y(y-1)} = \frac{1}{12}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(y^2 - 2y + 1) - (y^2 - 2y)}{y^2 - y} = \frac{1}{12}$
$\frac{y^2 - 2y + 1 - y^2 + 2y}{y^2 - y} = \frac{1}{12}$
После приведения подобных слагаемых в числителе остается:
$\frac{1}{y^2 - y} = \frac{1}{12}$

Из полученной пропорции следует, что знаменатели дробей равны:
$y^2 - y = 12$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y^2 - y - 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2} = -3$

По определению, знаменатель обыкновенной дроби ($y$) должен быть натуральным числом (целым и положительным). Следовательно, корень $y_2 = -3$ не подходит.
Единственным решением для знаменателя является $y = 4$.

Теперь найдем числитель $x$, используя первое уравнение:
$x = y - 1 = 4 - 1 = 3$

Значит, искомая дробь — это $\frac{3}{4}$.

Выполним проверку:
1. Числитель 3 на 1 меньше знаменателя 4. $3=4-1$. Условие выполнено.
2. Если вычесть 1 из числителя и знаменателя, получится дробь $\frac{3-1}{4-1} = \frac{2}{3}$.
3. Разность между исходной и новой дробью: $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12}$. Условие выполнено.

Решение найдено верно.
Ответ: $\frac{3}{4}$

30.32 Через два часа после выхода из $A$ автобус был задержан на 30 мин и, чтобы прибыть в $B$ по расписанию, должен был увеличить скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость автобуса, если известно, что расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно 260 км.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автобуса.

Общее расстояние между пунктами А и В равно $S = 260$ км.

Время, которое автобус должен был затратить на весь путь по расписанию, составляет $t_{расп} = \frac{S}{v} = \frac{260}{v}$ часов.

Автобус ехал 2 часа с первоначальной скоростью $v$. За это время он проехал расстояние $S_1 = v \cdot 2 = 2v$ км.

После этого ему осталось проехать расстояние $S_2 = S - S_1 = 260 - 2v$ км.

Затем автобус был задержан на 30 минут, что составляет $t_{задержки} = 0.5$ часа.

Чтобы прибыть в В по расписанию, автобус увеличил скорость на 5 км/ч. Новая скорость стала $v_{новая} = v + 5$ км/ч.

Время, затраченное на оставшийся путь, равно $t_2 = \frac{S_2}{v_{новая}} = \frac{260 - 2v}{v + 5}$ часов.

Общее время поездки с учетом задержки равно времени по расписанию. Составим уравнение:$t_{1} + t_{задержки} + t_{2} = t_{расп}$$2 + 0.5 + \frac{260 - 2v}{v + 5} = \frac{260}{v}$

Упростим полученное уравнение:$2.5 + \frac{260 - 2v}{v + 5} = \frac{260}{v}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(v+5)$:$\frac{2.5(v + 5) + (260 - 2v)}{v + 5} = \frac{260}{v}$$\frac{2.5v + 12.5 + 260 - 2v}{v + 5} = \frac{260}{v}$$\frac{0.5v + 272.5}{v + 5} = \frac{260}{v}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$v(0.5v + 272.5) = 260(v + 5)$$0.5v^2 + 272.5v = 260v + 1300$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$0.5v^2 + 272.5v - 260v - 1300 = 0$$0.5v^2 + 12.5v - 1300 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:$v^2 + 25v - 2600 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2600) = 625 + 10400 = 11025$$\sqrt{D} = \sqrt{11025} = 105$

Найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + 105}{2} = \frac{80}{2} = 40$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - 105}{2} = \frac{-130}{2} = -65$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -65$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость автобуса составляла 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

30.33 Велосипедист проехал 30 км от города до турбазы. На обратном пути он ехал 2 ч с той же скоростью, а затем на 3 км/ч быстрее и затратил на обратный путь на 6 мин меньше, чем на путь из города до турбазы. Какое время затратил велосипедист на обратный путь?

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста, с которой он ехал из города до турбазы.

Расстояние от города до турбазы составляет 30 км. Время, затраченное на этот путь, равно:
$t_1 = \frac{30}{v}$ ч.

На обратном пути велосипедист сначала ехал 2 часа с той же скоростью $v$ км/ч. За это время он проехал расстояние:
$S_1 = v \cdot t = v \cdot 2 = 2v$ км.

Оставшееся расстояние составляет:
$S_2 = 30 - 2v$ км.

Это расстояние он проехал со скоростью, которая на 3 км/ч больше первоначальной, то есть $v + 3$ км/ч. Время, затраченное на этот участок пути, равно:
$t_{2\_участок} = \frac{30 - 2v}{v+3}$ ч.

Общее время, затраченное на обратный путь, складывается из времени на первом и втором участках:
$t_2 = 2 + \frac{30 - 2v}{v+3}$ ч.

По условию задачи, на обратный путь было затрачено на 6 минут меньше, чем на путь из города до турбазы. Переведем 6 минут в часы:
$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$.

Таким образом, $t_2 = t_1 - \frac{1}{10}$. Составим уравнение:

$2 + \frac{30 - 2v}{v+3} = \frac{30}{v} - \frac{1}{10}$

Для удобства решения преобразуем левую часть уравнения, приведя слагаемые к общему знаменателю:
$t_2 = \frac{2(v+3) + (30 - 2v)}{v+3} = \frac{2v + 6 + 30 - 2v}{v+3} = \frac{36}{v+3}$

Теперь уравнение принимает более простой вид:
$\frac{36}{v+3} = \frac{30}{v} - \frac{1}{10}$

Перенесем слагаемые с переменной в одну часть:
$\frac{30}{v} - \frac{36}{v+3} = \frac{1}{10}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+3)$:
$\frac{30(v+3) - 36v}{v(v+3)} = \frac{1}{10}$
$\frac{30v + 90 - 36v}{v^2 + 3v} = \frac{1}{10}$
$\frac{90 - 6v}{v^2 + 3v} = \frac{1}{10}$

Используем свойство пропорции:
$10(90 - 6v) = 1 \cdot (v^2 + 3v)$
$900 - 60v = v^2 + 3v$

Получаем квадратное уравнение:
$v^2 + 63v - 900 = 0$

Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 63^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-900) = 3969 + 3600 = 7569$
$\sqrt{D} = \sqrt{7569} = 87$

Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-63 + 87}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$v_2 = \frac{-63 - 87}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому первоначальная скорость велосипедиста $v = 12$ км/ч.

Вопрос задачи — найти время, затраченное на обратный путь ($t_2$). Используем ранее выведенную формулу:
$t_2 = \frac{36}{v+3}$

Подставим значение $v = 12$:
$t_2 = \frac{36}{12+3} = \frac{36}{15} = \frac{12}{5} = 2.4$ часа.

Переведем $2.4$ часа в часы и минуты:
$2.4 \text{ ч} = 2 \text{ ч} + 0.4 \text{ ч} = 2 \text{ ч} + (0.4 \cdot 60) \text{ мин} = 2 \text{ ч } 24 \text{ мин}$.

Ответ: 2 часа 24 минуты.

30.34 Велосипедист рассчитывал проехать по маршруту $BC$ за $2 \text{ ч}$. Однако, когда до пункта $C$ оставалось $6 \text{ км}$, из-за встречного ветра он снизил скорость на $3 \text{ км/ч}$ и прибыл в пункт $C$ на $6 \text{ мин}$ позже, чем рассчитывал. Чему равна длина маршрута $BC$?

Пусть $v$ (км/ч) – первоначально запланированная скорость велосипедиста. Весь маршрут ВС, согласно плану, велосипедист должен был проехать за 2 часа.

Из-за встречного ветра скорость была снижена на последних 6 км маршрута. Это означает, что задержка в пути произошла именно на этом участке.

Рассчитаем запланированное и фактическое время на преодоление последних 6 км.

Запланированное время на этом участке: $t_{план} = \frac{6}{v}$ ч.

Фактическая скорость на этом участке была на 3 км/ч меньше, то есть $v - 3$ км/ч.Фактическое время, затраченное на этот участок: $t_{факт} = \frac{6}{v - 3}$ ч.

Задержка составила 6 минут. Переведем минуты в часы: $6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0.1 \text{ ч}$.Разница между фактическим и запланированным временем на последнем участке равна общей задержке:$t_{факт} - t_{план} = 0.1$

Составим и решим уравнение, подставив выражения для времени:$\frac{6}{v - 3} - \frac{6}{v} = 0.1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v - 3)$:$\frac{6v - 6(v - 3)}{v(v - 3)} = 0.1$

Упростим числитель:$\frac{6v - 6v + 18}{v^2 - 3v} = 0.1$

$\frac{18}{v^2 - 3v} = 0.1$

Из этого уравнения выразим $v^2 - 3v$:$v^2 - 3v = \frac{18}{0.1}$$v^2 - 3v = 180$

Мы получили квадратное уравнение:$v^2 - 3v - 180 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

Найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, правильным является корень $v = 15$.Следовательно, запланированная скорость велосипедиста равна 15 км/ч.

Теперь мы можем найти длину маршрута BC, зная, что запланированное время в пути составляло 2 часа:$S = v \cdot t = 15 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 30 \text{ км}$.

Ответ: 30 км.

30.35 Пешеход прошёл расстояние от пункта C до пункта M за 3 ч. Возвращаясь, он первые 16 км шёл с той же скоростью, а затем снизил скорость на 1 км/ч, вследствие чего затратил на обратный путь на 4 мин больше, чем на путь из C в M. Чему равно расстояние между пунктами C и M?

Пусть $S$ (в км) — расстояние между пунктами С и М, а $v$ (в км/ч) — первоначальная скорость пешехода.

По условию, пешеход прошёл расстояние от С до М за 3 часа. Таким образом, мы можем составить первое уравнение, связывающее расстояние, скорость и время:

$S = v \cdot 3$

Отсюда первоначальная скорость пешехода равна $v = \frac{S}{3}$.

На обратном пути (из М в С) пешеход затратил на 4 минуты больше, чем на путь из С в М. Переведём 4 минуты в часы для согласованности единиц измерения:

$4 \text{ мин} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15} \text{ ч}$

Следовательно, время, затраченное на обратный путь, составило:

$t_{обр} = 3 \text{ ч} + \frac{1}{15} \text{ ч} = \frac{45}{15} + \frac{1}{15} = \frac{46}{15} \text{ ч}$

Обратный путь состоял из двух участков. Рассчитаем время, затраченное на каждый участок:

1. Первый участок: расстояние $S_1 = 16$ км, скорость была такой же, как и первоначальная, то есть $v_1 = v$ (км/ч). Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{16}{v}$ ч.

2. Второй участок: оставшееся расстояние $S_2 = S - 16$ км. Скорость на этом участке была на 1 км/ч меньше, то есть $v_2 = v - 1$ (км/ч). Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S - 16}{v - 1}$ ч.

Общее время на обратный путь равно сумме времён, затраченных на два участка:

$t_{обр} = t_1 + t_2$

Подставим известные значения и выражения:

$\frac{46}{15} = \frac{16}{v} + \frac{S - 16}{v - 1}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Подставим выражение для $S$ из первого уравнения ($S = 3v$) во второе:

$\frac{46}{15} = \frac{16}{v} + \frac{3v - 16}{v - 1}$

Теперь решим это уравнение относительно $v$. Приведём дроби в правой части к общему знаменателю $v(v - 1)$:

$\frac{46}{15} = \frac{16(v - 1) + v(3v - 16)}{v(v - 1)}$

$\frac{46}{15} = \frac{16v - 16 + 3v^2 - 16v}{v^2 - v}$

$\frac{46}{15} = \frac{3v^2 - 16}{v^2 - v}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$46(v^2 - v) = 15(3v^2 - 16)$

$46v^2 - 46v = 45v^2 - 240$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$46v^2 - 45v^2 - 46v + 240 = 0$

$v^2 - 46v + 240 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 2116 - 960 = 1156$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.

Найдём два возможных значения для скорости $v$:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 + 34}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 - 34}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы получили два положительных корня. Однако, по условию задачи речь идет о пешеходе. Скорость 40 км/ч является нереалистичной для пешехода, это скорее скорость автомобиля. Скорость 6 км/ч является вполне возможной для быстро идущего человека. Поэтому, исходя из физического смысла задачи, выбираем корень $v = 6$ км/ч.

Теперь, зная первоначальную скорость, мы можем найти искомое расстояние между пунктами С и М:

$S = 3 \cdot v = 3 \cdot 6 = 18$ км.

Ответ: 18 км.