Страница 173, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

30.19 Катер прошёл 27 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на путь по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Какова скорость катера против течения, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Пусть скорость катера против течения реки равна $x$ км/ч. Это искомая величина.

Скорость течения реки по условию равна $3$ км/ч.

Собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) будет на $3$ км/ч больше, чем скорость против течения, то есть она равна $(x + 3)$ км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки будет еще на $3$ км/ч больше собственной скорости и составит $(x + 3) + 3 = (x + 6)$ км/ч.

Катер прошёл $42$ км против течения. Время, затраченное на этот путь, равно $t_{против} = \frac{S}{v} = \frac{42}{x}$ ч.

Катер прошёл $27$ км по течению. Время, затраченное на этот путь, равно $t_{по} = \frac{S}{v} = \frac{27}{x+6}$ ч.

Из условия задачи известно, что на путь по течению катер затратил на $1$ час меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:

$t_{против} - t_{по} = 1$

$\frac{42}{x} - \frac{27}{x+6} = 1$

Для решения этого уравнения приведём дроби к общему знаменателю $x(x+6)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая, что $x > 0$, так как это скорость.

$42(x+6) - 27x = x(x+6)$

Раскроем скобки:

$42x + 252 - 27x = x^2 + 6x$

Приведём подобные слагаемые:

$15x + 252 = x^2 + 6x$

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 6x - 15x - 252 = 0$

$x^2 - 9x - 252 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089$

Найдём корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{9 + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 33}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{9 - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 33}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, скорость катера против течения реки равна $21$ км/ч.

Проверим решение:
Скорость против течения: $21$ км/ч. Время: $\frac{42}{21} = 2$ ч.
Скорость по течению: $21 + 6 = 27$ км/ч. Время: $\frac{27}{27} = 1$ ч.
Разница во времени: $2 - 1 = 1$ ч, что соответствует условию задачи.

Ответ: $21$ км/ч.

30.20 Лодочник проплыл 3 км по течению реки и 3 км против течения за то же время, за которое плот мог бы проплыть 4 км по течению. Собственная скорость лодки равна 6 км/ч. Найдите скорость течения реки.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки.

Собственная скорость лодки равна 6 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(6 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(6 - x)$ км/ч.

Время, которое лодочник затратил на путь в 3 км по течению, равно $t_1 = \frac{3}{6 + x}$ часов.

Время, которое лодочник затратил на путь в 3 км против течения, равно $t_2 = \frac{3}{6 - x}$ часов.

Общее время, затраченное лодочником на весь путь, составляет $T_{лодки} = t_1 + t_2 = \frac{3}{6 + x} + \frac{3}{6 - x}$ часов.

Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $x$ км/ч. Время, за которое плот проплывет 4 км, составляет $T_{плота} = \frac{4}{x}$ часов.

Согласно условию задачи, время движения лодочника равно времени движения плота, поэтому мы можем составить уравнение: $$ \frac{3}{6 + x} + \frac{3}{6 - x} = \frac{4}{x} $$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(6 + x)(6 - x) = 36 - x^2$: $$ \frac{3(6 - x) + 3(6 + x)}{36 - x^2} = \frac{4}{x} $$ $$ \frac{18 - 3x + 18 + 3x}{36 - x^2} = \frac{4}{x} $$ $$ \frac{36}{36 - x^2} = \frac{4}{x} $$

Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ 36x = 4(36 - x^2) $$

Разделим обе части уравнения на 4: $$ 9x = 36 - x^2 $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 + 9x - 36 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 15}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

По физическому смыслу задачи скорость течения реки не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -12$ не подходит. Также скорость течения должна быть меньше собственной скорости лодки, чтобы она могла двигаться против течения ($x < 6$). Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет обоим условиям ($0 < 3 < 6$).

Таким образом, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

30.21 Прогулочный теплоход отправился от пристани А к пристани В вниз по течению реки. После получасовой стоянки в В он отправился обратно и через $8 \text{ ч}$ после отплытия из А вернулся к той же пристани. Какова собственная скорость теплохода, если расстояние между пристанями А и В равно $36 \text{ км}$, а скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$?

Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч. Тогда его скорость по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 2)$ км/ч. Важно отметить, что собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Теплоход прошел расстояние в 36 км от пристани А до пристани В по течению. Время, затраченное на этот путь, равно:

$t_1 = \frac{S}{v_{по\;течению}} = \frac{36}{x + 2}$ ч.

Затем теплоход прошел 36 км в обратном направлении против течения. Время, затраченное на обратный путь, равно:

$t_2 = \frac{S}{v_{против\;течения}} = \frac{36}{x - 2}$ ч.

Общее время поездки составило 8 часов. Это время включает в себя движение туда, обратно и получасовую стоянку (0,5 часа). Значит, чистое время движения теплохода составляет:

$T_{движения} = T_{общ} - T_{стоянки} = 8 - 0.5 = 7.5$ ч.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв сумму времени движения по течению и против течения к 7,5 часам:

$\frac{36}{x + 2} + \frac{36}{x - 2} = 7.5$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$:

$\frac{36(x - 2) + 36(x + 2)}{x^2 - 4} = 7.5$

$\frac{36x - 72 + 36x + 72}{x^2 - 4} = 7.5$

$\frac{72x}{x^2 - 4} = 7.5$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$72x = 7.5(x^2 - 4)$

$72x = 7.5x^2 - 30$

$7.5x^2 - 72x - 30 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все члены уравнения на 2:

$15x^2 - 144x - 60 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 3:

$5x^2 - 48x - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-20) = 2304 + 400 = 2704$

Найдем корни уравнения: $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 + 52}{2 \cdot 5} = \frac{100}{10} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 - 52}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -0.4$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -0.4$ не является решением задачи. Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $x > 2$.

Следовательно, собственная скорость теплохода составляет 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

30.22 Моторная лодка прошла по течению реки расстояние 6 км, затем по озеру 10 км, затратив на весь путь 1 ч. С какой скоростью она шла по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость моторной лодки. Скорость лодки при движении по озеру равна её собственной скорости, так как в озере нет течения (стоячая вода).

Скорость течения реки по условию равна $3$ км/ч. Когда лодка движется по течению реки, её скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения.
Скорость лодки по течению реки: $V_{по \ теч.} = (x + 3)$ км/ч.
Скорость лодки по озеру: $V_{по \ озеру} = x$ км/ч.

Теперь определим время, которое лодка затратила на каждый участок пути, используя формулу времени $t = \frac{S}{V}$, где $S$ — это расстояние, а $V$ — скорость.
Время движения по реке (расстояние 6 км): $t_1 = \frac{6}{x + 3}$ ч.
Время движения по озеру (расстояние 10 км): $t_2 = \frac{10}{x}$ ч.

Согласно условию, общее время, затраченное на весь путь, составляет $1$ час. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму времени движения по реке и по озеру к общему времени:
$t_1 + t_2 = 1$
$\frac{6}{x + 3} + \frac{10}{x} = 1$

Теперь решим полученное рациональное уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+3)$, чтобы избавиться от дробей. При этом необходимо учесть, что $x > 0$, так как скорость не может быть отрицательной или равной нулю.
$x(x+3) \cdot \left(\frac{6}{x + 3} + \frac{10}{x}\right) = 1 \cdot x(x+3)$
$6x + 10(x + 3) = x(x + 3)$
$6x + 10x + 30 = x^2 + 3x$
$16x + 30 = x^2 + 3x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 3x - 16x - 30 = 0$
$x^2 - 13x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1$, $b=-13$, $c=-30$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 169 + 120 = 289$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$
$x_1 = \frac{-(-13) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 17}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-(-13) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 17}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Следовательно, единственным решением является $x = 15$. Это и есть собственная скорость лодки, а значит, и ее скорость по озеру.

Ответ: скорость лодки по озеру равна 15 км/ч.

30.23 Расстояние 210 км катер проходит по течению реки на 4 ч быстрее, чем против течения. Определите собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость катера по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч, а скорость катера против течения — $(x - 3)$ км/ч.

Время, за которое катер проходит расстояние 210 км по течению, равно $t_{по} = \frac{210}{x + 3}$ часов.

Время, за которое катер проходит то же расстояние против течения, равно $t_{против} = \frac{210}{x - 3}$ часов.

По условию задачи, время движения по течению на 4 часа меньше, чем время движения против течения. Это можно записать в виде уравнения:

$t_{против} - t_{по} = 4$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{210}{x - 3} - \frac{210}{x + 3} = 4$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю. Так как $x$ — это скорость, она должна быть положительной. Кроме того, для движения против течения собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3)$:

$\frac{210(x + 3) - 210(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = 4$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{210x + 630 - 210x + 630}{x^2 - 9} = 4$

$\frac{1260}{x^2 - 9} = 4$

Теперь решим получившееся уравнение:

$1260 = 4(x^2 - 9)$

Разделим обе части на 4:

$315 = x^2 - 9$

$x^2 = 315 + 9$

$x^2 = 324$

$x = \sqrt{324}$

$x = 18$ или $x = -18$.

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x = -18$ не является решением задачи. Собственная скорость катера равна 18 км/ч. Это значение удовлетворяет условию $x > 3$.

Ответ: 18 км/ч.

30.24 Моторная лодка прошла 20 км против течения реки и 14 км по озеру, затратив на путь по озеру на 1 ч меньше, чем на путь по реке. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Найдите скорость хода лодки против течения.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость лодки против течения реки. Скорость лодки в озере (в стоячей воде) равна ее собственной скорости. Собственная скорость лодки $v_{с}$ связана со скоростью против течения $v_{против}$ и скоростью течения $v_{т}$ формулой: $v_{против} = v_{с} - v_{т}$.

Отсюда можно выразить собственную скорость лодки, которая будет ее скоростью при движении по озеру:

$v_{с} = v_{против} + v_{т}$

По условию задачи, скорость течения реки $v_{т} = 4$ км/ч. Подставив это значение и наше обозначение $v_{против} = x$, получаем скорость лодки по озеру:

$v_{озеро} = v_{с} = x + 4$ км/ч.

Теперь найдем время, затраченное на каждый участок пути, используя формулу $t = \frac{S}{v}$.

Время движения по реке (против течения) на расстояние $S_{река} = 20$ км:

$t_{река} = \frac{20}{x}$ ч.

Время движения по озеру на расстояние $S_{озеро} = 14$ км:

$t_{озеро} = \frac{14}{x + 4}$ ч.

В условии сказано, что на путь по озеру лодка затратила на 1 час меньше, чем на путь по реке. Это можно записать в виде уравнения:

$t_{река} - t_{озеро} = 1$

Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{20}{x} - \frac{14}{x + 4} = 1$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы $x > 0$, так как скорость не может быть отрицательной или нулевой. Приведем дроби к общему знаменателю $x(x + 4)$ и умножим на него обе части уравнения:

$20(x + 4) - 14x = x(x + 4)$

Раскроем скобки:

$20x + 80 - 14x = x^2 + 4x$

Приведем подобные слагаемые:

$6x + 80 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 6x - 80 = 0$

$x^2 - 2x - 80 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 = 18^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 18}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 18}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

По смыслу задачи скорость $x$ не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -8$ не подходит. Следовательно, скорость лодки против течения реки равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

30.25 Мастерская к определённому сроку должна была выпустить 5400 пар обуви. Фактически она выпускала в день на 30 пар больше плана и выполнила заказ на 9 дней раньше срока. За сколько дней был выполнен заказ?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это плановое количество пар обуви, которое мастерская должна была выпускать в день, а $t$ — плановое количество дней на выполнение всего заказа.

По условию, общий объем заказа составляет 5400 пар обуви. Тогда мы можем составить первое уравнение, связывающее плановые показатели:

$x \cdot t = 5400$

Фактически мастерская выпускала на 30 пар в день больше плана, то есть ее фактическая производительность была $(x + 30)$ пар в день. Заказ был выполнен на 9 дней раньше срока, то есть фактическое время работы составило $(t - 9)$ дней.

Это позволяет нам составить второе уравнение, описывающее фактическое выполнение заказа:

$(x + 30) \cdot (t - 9) = 5400$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} xt = 5400 \\ (x + 30)(t - 9) = 5400\end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = \frac{5400}{t}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{5400}{t} + 30)(t - 9) = 5400$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$\frac{5400}{t} \cdot t - \frac{5400}{t} \cdot 9 + 30 \cdot t - 30 \cdot 9 = 5400$

$5400 - \frac{48600}{t} + 30t - 270 = 5400$

Вычтем 5400 из обеих частей уравнения и упростим:

$-\frac{48600}{t} + 30t - 270 = 0$

Умножим все члены уравнения на $t$ (при условии $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$-48600 + 30t^2 - 270t = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$ и разделим все его члены на 30 для упрощения:

$30t^2 - 270t - 48600 = 0 \quad | : 30$

$t^2 - 9t - 1620 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1620) = 81 + 6480 = 6561$

Найдем корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{6561}}{2} = \frac{9 \pm 81}{2}$

Получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = \frac{9 + 81}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$t_2 = \frac{9 - 81}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как $t$ — это плановое количество дней, оно не может быть отрицательным. Следовательно, плановое время выполнения заказа составляет 45 дней.

Вопрос задачи — за сколько дней был выполнен заказ фактически. Фактическое время выполнения заказа на 9 дней меньше планового:

$t_{факт} = t - 9 = 45 - 9 = 36$

Ответ: 36 дней.

30.26 Два поля имеют общую площадь 20 га. С первого поля убрали 550 т, а со второго 540 т картофеля. Сколько тонн картофеля собирали с 1 га каждого поля, если с 1 га первого поля собирали на 10 т меньше, чем с 1 га второго поля?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ тонн картофеля собирали с 1 гектара второго поля. Тогда урожайность первого поля составляет $(x - 10)$ тонн с гектара, так как по условию с 1 га первого поля собирали на 10 т меньше.

Зная общую массу собранного картофеля и урожайность для каждого поля, мы можем выразить площадь каждого поля через $x$.

Площадь первого поля равна отношению всей собранной массы картофеля к урожайности с одного гектара:

$S_1 = \frac{550}{x - 10}$ га.

Площадь второго поля вычисляется аналогично:

$S_2 = \frac{540}{x}$ га.

По условию, общая площадь двух полей составляет 20 га. Следовательно, мы можем составить уравнение, сложив площади двух полей:

$S_1 + S_2 = 20$

$\frac{550}{x - 10} + \frac{540}{x} = 20$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $x \ne 0$ и $x - 10 \ne 0$. Также, поскольку урожайность не может быть отрицательной, $x > 0$ и $x - 10 > 0$, что означает $x > 10$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 10)$ и умножим обе части уравнения на него:

$550x + 540(x - 10) = 20x(x - 10)$

Раскроем скобки:

$550x + 540x - 5400 = 20x^2 - 200x$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$1090x - 5400 = 20x^2 - 200x$

$20x^2 - 200x - 1090x + 5400 = 0$

$20x^2 - 1290x + 5400 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 10:

$2x^2 - 129x + 540 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-129)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 540 = 16641 - 4320 = 12321$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{12321} = 111$

$x_1 = \frac{129 + 111}{2 \cdot 2} = \frac{240}{4} = 60$

$x_2 = \frac{129 - 111}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4.5$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x > 10$.

Корень $x_1 = 60$ удовлетворяет условию $60 > 10$.

Корень $x_2 = 4.5$ не удовлетворяет условию $x > 10$, так как в этом случае урожайность первого поля была бы отрицательной ($4.5 - 10 = -5.5$), что невозможно. Следовательно, этот корень является посторонним.

Таким образом, урожайность второго поля составляет 60 тонн с гектара.

Теперь найдем урожайность первого поля:

$x - 10 = 60 - 10 = 50$ тонн с гектара.

Ответ: с первого поля собирали 50 тонн картофеля с 1 га, а со второго — 60 тонн с 1 га.