Страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Решите уравнение:

29.1 а) $3x + \frac{4}{x} = 7;$

б) $\frac{2x^2 - 10}{x + 5} - 4 = 0;$

в) $x - 10 = \frac{24}{x};$

г) $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2.$

а) $3x + \frac{4}{x} = 7$

Данное уравнение является рациональным. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:
$x \cdot (3x + \frac{4}{x}) = 7 \cdot x$
$3x^2 + 4 = 7x$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3x^2 - 7x + 4 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a = 3$, $b = -7$, $c = 4$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Оба корня ($1$ и $\frac{4}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $1; \frac{4}{3}$.

б) $\frac{2x^2 - 10}{x + 5} - 4 = 0$

ОДЗ: знаменатель $x+5 \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$.
Перенесем 4 в правую часть уравнения:
$\frac{2x^2 - 10}{x + 5} = 4$
Умножим обе части уравнения на $(x+5)$:
$2x^2 - 10 = 4(x + 5)$
Раскроем скобки:
$2x^2 - 10 = 4x + 20$
Перенесем все в левую часть:
$2x^2 - 4x - 10 - 20 = 0$
$2x^2 - 4x - 30 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 2x - 15 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
По теореме Виета: сумма корней равна 2, а произведение равно -15. Это числа 5 и -3.
Или через дискриминант: $a=1, b=-2, c=-15$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
$x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Оба корня ($5$ и $-3$) не равны $-5$, поэтому они подходят.
Ответ: $-3; 5$.

в) $x - 10 = \frac{24}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$:
$x(x - 10) = 24$
Раскроем скобки:
$x^2 - 10x = 24$
Перенесем 24 в левую часть:
$x^2 - 10x - 24 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 10, произведение -24. Это числа 12 и -2.
Или через дискриминант: $a=1, b=-10, c=-24$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$.
$x_1 = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$x_2 = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Оба корня ($12$ и $-2$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-2; 12$.

г) $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2$

Определим ОДЗ. Знаменатель $x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому ОДЗ: $x$ — любое действительное число.
Умножим обе части на знаменатель $x^2 + 1$:
$x^2 + 3 = 2(x^2 + 1)$
Раскроем скобки:
$x^2 + 3 = 2x^2 + 2$
Сгруппируем слагаемые с $x^2$ и свободные члены:
$3 - 2 = 2x^2 - x^2$
$1 = x^2$
Из этого уравнения получаем два корня:
$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 1$.

29.2 а) $\frac{x^2 + 3x}{2} + \frac{x - 3x^2}{8} = 2x;$

б) $\frac{2x + 1}{3} - \frac{4x - x^2}{12} = \frac{x^2 - 4}{9}.$

а)

Исходное уравнение: $\frac{x^2+3x}{2} + \frac{x-3x^2}{8} = 2x$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим все части уравнения на наименьший общий знаменатель. Для знаменателей 2 и 8 наименьшим общим знаменателем является 8.

$8 \cdot \frac{x^2+3x}{2} + 8 \cdot \frac{x-3x^2}{8} = 8 \cdot 2x$

Выполним умножение:

$4(x^2+3x) + 1(x-3x^2) = 16x$

Раскроем скобки:

$4x^2 + 12x + x - 3x^2 = 16x$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 3x^2) + (12x + x) = 16x$

$x^2 + 13x = 16x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 13x - 16x = 0$

$x^2 - 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два возможных случая:

$x_1 = 0$

или

$x-3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

Ответ: $0; 3$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{2x+1}{3} - \frac{4x-x^2}{12} = \frac{x^2-4}{9}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 3, 12 и 9. Разложим их на простые множители: $3 = 3$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. Наименьшее общее кратное будет $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Умножим обе части уравнения на 36:

$36 \cdot \frac{2x+1}{3} - 36 \cdot \frac{4x-x^2}{12} = 36 \cdot \frac{x^2-4}{9}$

Выполним сокращение:

$12(2x+1) - 3(4x-x^2) = 4(x^2-4)$

Раскроем скобки. Обратим внимание на знак минус перед второй дробью.

$24x + 12 - 12x + 3x^2 = 4x^2 - 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$3x^2 + (24x - 12x) + 12 = 4x^2 - 16$

$3x^2 + 12x + 12 = 4x^2 - 16$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = (4x^2 - 3x^2) - 12x + (-16 - 12)$

$0 = x^2 - 12x - 28$

Решим полученное квадратное уравнение $x^2 - 12x - 28 = 0$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$a=1, b=-12, c=-28$

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2; 14$.

29.3 a)

$\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{5} = 1;$

б) $\frac{3x + 4}{5} - \frac{x^2 + 4x - 3}{3} = 1.$

а) $ \frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{5} = 1 $

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 5. Наименьшее общее кратное чисел 8 и 5 равно 40.

$ 40 \cdot \left( \frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{5} \right) = 40 \cdot 1 $

$ \frac{40(x^2 - 4)}{8} - \frac{40(2x + 3)}{5} = 40 $

$ 5(x^2 - 4) - 8(2x + 3) = 40 $

Раскроем скобки:

$ 5x^2 - 20 - 16x - 24 = 40 $

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$ 5x^2 - 16x - 44 - 40 = 0 $

$ 5x^2 - 16x - 84 = 0 $

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-84) = 256 + 1680 = 1936 $

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ \sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44 $

$ x_1 = \frac{-(-16) + 44}{2 \cdot 5} = \frac{16 + 44}{10} = \frac{60}{10} = 6 $

$ x_2 = \frac{-(-16) - 44}{2 \cdot 5} = \frac{16 - 44}{10} = \frac{-28}{10} = -2.8 $

Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -2.8$.

б) $ \frac{3x + 4}{5} - \frac{x^2 + 4x - 3}{3} = 1 $

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, которое равно 15.

$ 15 \cdot \left( \frac{3x + 4}{5} - \frac{x^2 + 4x - 3}{3} \right) = 15 \cdot 1 $

$ \frac{15(3x + 4)}{5} - \frac{15(x^2 + 4x - 3)}{3} = 15 $

$ 3(3x + 4) - 5(x^2 + 4x - 3) = 15 $

Раскроем скобки. Обращаем внимание на знак минус перед второй дробью.

$ 9x + 12 - 5x^2 - 20x + 15 = 15 $

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:

$ -5x^2 + (9x - 20x) + (12 + 15) - 15 = 0 $

$ -5x^2 - 11x + 27 - 15 = 0 $

$ -5x^2 - 11x + 12 = 0 $

Для удобства умножим все уравнение на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$ 5x^2 + 11x - 12 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 121 + 240 = 361 $

Найдем корни уравнения:

$ \sqrt{D} = \sqrt{361} = 19 $

$ x_1 = \frac{-11 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = 0.8 $

$ x_2 = \frac{-11 - 19}{2 \cdot 5} = \frac{-30}{10} = -3 $

Ответ: $x_1 = 0.8, x_2 = -3$.

29.4 а) $\frac{6}{x+1} = \frac{x^2-5x}{x+1}$;

б) $\frac{x^2-6}{x-3} = \frac{x}{x-3}$;

в) $\frac{x-x^2}{5-x} = \frac{-20}{5-x}$;

г) $\frac{3x^2-x}{1-x} = \frac{2}{1-x}. $

а) Решим уравнение $\frac{6}{x + 1} = \frac{x^2 - 5x}{x + 1}$.
Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю. Таким образом, $x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.
Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять числители, при условии, что решение будет удовлетворять ОДЗ.
$6 = x^2 - 5x$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 5x - 6 = 0$
Для решения этого уравнения можно использовать теорему Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Легко подобрать корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Другой способ — через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2}$
$x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6$
$x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1$
Теперь проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ ($x \neq -1$).
Корень $x = 6$ удовлетворяет условию ОДЗ.
Корень $x = -1$ не удовлетворяет условию ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 6.

б) Решим уравнение $\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$.
ОДЗ: $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.
Приравниваем числители, так как знаменатели равны:
$x^2 - 6 = x$
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Отсюда находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$).
Корень $x = 3$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.
Корень $x = -2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -2.

в) Решим уравнение $\frac{x - x^2}{5 - x} = \frac{-20}{5 - x}$.
ОДЗ: $5 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$.
Приравниваем числители:
$x - x^2 = -20$
$x^2 - x - 20 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -20$. Корнями являются числа $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 5$).
Корень $x = 5$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -4.

г) Решим уравнение $\frac{3x^2 - x}{1 - x} = \frac{2}{1 - x}$.
ОДЗ: $1 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.
Приравниваем числители:
$3x^2 - x = 2$
$3x^2 - x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$
$x_1 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$).
Корень $x = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x = -\frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

29.5 a) $\frac{3x^2 - 14x}{x - 4} = \frac{8}{4 - x}$;

б) $\frac{-2x^2 + 6}{x + 6} = \frac{11x}{6 + x}$;

в) $\frac{2x^2}{x - 2} = \frac{-7x + 6}{2 - x}$;

г) $\frac{x^2 + x}{x + 3} = \frac{6}{3 + x}$.

а) $\frac{3x^2 - 14x}{x - 4} = \frac{8}{4 - x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Поэтому $x - 4 \neq 0$ и $4 - x \neq 0$, что в обоих случаях дает $x \neq 4$.

Заметим, что $4 - x = -(x - 4)$. Используем это для преобразования правой части уравнения:

$\frac{8}{4 - x} = \frac{8}{-(x - 4)} = -\frac{8}{x - 4}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{3x^2 - 14x}{x - 4} = -\frac{8}{x - 4}$

Перенесем дробь из правой части в левую, изменив знак:

$\frac{3x^2 - 14x}{x - 4} + \frac{8}{x - 4} = 0$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{3x^2 - 14x + 8}{x - 4} = 0$

Рациональная дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие $x \neq 4$ мы уже учли. Приравняем числитель к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

$3x^2 - 14x + 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100$.

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 10}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 10}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Сравним полученные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 4$ не входит в область допустимых значений, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = \frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $x \neq 4$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) $\frac{-2x^2 + 6}{x + 6} = \frac{11x}{6 + x}$

ОДЗ: знаменатель $x + 6 \neq 0$, следовательно, $x \neq -6$.

Поскольку $x + 6 = 6 + x$, знаменатели дробей в левой и правой частях уравнения равны. Если у двух равных дробей равны знаменатели, то должны быть равны и их числители.

$-2x^2 + 6 = 11x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 11x - 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169$.

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 + 13}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 - 13}{4} = \frac{-24}{4} = -6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -6$). Корень $x_2 = -6$ является посторонним. Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\frac{2x^2}{x - 2} = \frac{-7x + 6}{2 - x}$

ОДЗ: $x - 2 \neq 0$ и $2 - x \neq 0$, что дает $x \neq 2$.

Преобразуем знаменатель в правой части: $2 - x = -(x - 2)$.

$\frac{2x^2}{x - 2} = \frac{-7x + 6}{-(x - 2)}$

$\frac{2x^2}{x - 2} = -\frac{-7x + 6}{x - 2}$

$\frac{2x^2}{x - 2} = \frac{7x - 6}{x - 2}$

Приведем уравнение к общему знаменателю и перенесем все в левую часть:

$\frac{2x^2}{x - 2} - \frac{7x - 6}{x - 2} = 0$

$\frac{2x^2 - (7x - 6)}{x - 2} = 0$

$\frac{2x^2 - 7x + 6}{x - 2} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$2x^2 - 7x + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Согласно ОДЗ, $x \neq 2$. Поэтому корень $x_1 = 2$ является посторонним. Корень $x_2 = \frac{3}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

г) $\frac{x^2 + x}{x + 3} = \frac{6}{3 + x}$

ОДЗ: $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Знаменатели дробей равны, так как $x + 3 = 3 + x$. Следовательно, мы можем приравнять числители:

$x^2 + x = 6$

Перенесем 6 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x - 6 = 0$

Это уравнение можно решить по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна -1, а произведение равно -6. Это числа 2 и -3.

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Также можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -3$). Корень $x_2 = -3$ является посторонним. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$.

29.6 a) $\frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x + 3}{3}$;

б) $\frac{5x - 3}{x - 3} = \frac{2x - 3}{x}$;

в) $\frac{x^2 - 5}{x - 1} = \frac{7x + 10}{9}$;

г) $\frac{2x + 3}{x + 2} = \frac{3x + 2}{x}$.

а)

Дано уравнение: $\frac{x^2 + 4x}{x+2} = \frac{2x+3}{3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(x^2 + 4x) = (2x+3)(x+2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x + 3x + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 12x = 2x^2 + 7x + 6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 2x^2 + 12x - 7x - 6 = 0$

$x^2 + 5x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-5+7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-5-7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Оба корня (1 и -6) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$).

Ответ: $1; -6$.

б)

Дано уравнение: $\frac{5x-3}{x-3} = \frac{2x-3}{x}$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, т.е. $x-3 \neq 0$ и $x \neq 0$. Отсюда $x \neq 3$ и $x \neq 0$.

Применим перекрестное умножение:

$x(5x-3) = (x-3)(2x-3)$

Раскроем скобки:

$5x^2 - 3x = 2x^2 - 6x - 3x + 9$

$5x^2 - 3x = 2x^2 - 9x + 9$

Перенесем все в левую часть:

$5x^2 - 2x^2 - 3x + 9x - 9 = 0$

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -3$

Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Оба корня (1 и -3) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq 0$).

Ответ: $1; -3$.

в)

Дано уравнение: $\frac{x^2-5}{x-1} = \frac{7x+10}{9}$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

Используем перекрестное умножение:

$9(x^2-5) = (x-1)(7x+10)$

Раскроем скобки:

$9x^2 - 45 = 7x^2 + 10x - 7x - 10$

$9x^2 - 45 = 7x^2 + 3x - 10$

Перенесем все в левую часть:

$9x^2 - 7x^2 - 3x - 45 + 10 = 0$

$2x^2 - 3x - 35 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289 = 17^2$

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 17}{4}$

$x_1 = \frac{3+17}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{3-17}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$

Оба корня (5 и -3.5) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: $5; -3.5$.

г)

Дано уравнение: $\frac{2x+3}{x+2} = \frac{3x+2}{x}$.

ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x \neq 0$. Отсюда $x \neq -2$ и $x \neq 0$.

Используем перекрестное умножение:

$x(2x+3) = (x+2)(3x+2)$

Раскроем скобки:

$2x^2 + 3x = 3x^2 + 2x + 6x + 4$

$2x^2 + 3x = 3x^2 + 8x + 4$

Перенесем все члены в правую часть для получения стандартного вида:

$0 = 3x^2 - 2x^2 + 8x - 3x + 4$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

Решим по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.

Оба корня (-1 и -4) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 0$).

Ответ: $-1; -4$.

29.7 a) $ \frac{2}{x^2 - 3} = \frac{1}{x} $;

б) $ \frac{4x + 1}{x - 3} = \frac{3x - 8}{x + 1} $;

в) $ \frac{3}{x^2 + 2} = \frac{1}{x} $;

г) $ \frac{2x - 1}{x + 7} = \frac{3x + 4}{x - 1} $.

a) $\frac{2}{x^2 - 3} = \frac{1}{x}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x^2 - 3 \neq 0 \implies x^2 \neq 3 \implies x \neq \pm\sqrt{3}$
$x \neq 0$
Применим правило пропорции (перекрестное умножение):
$2 \cdot x = 1 \cdot (x^2 - 3)$
$2x = x^2 - 3$
Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -3$
Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, x \neq \pm\sqrt{3}$), следовательно, являются решениями исходного уравнения.
Ответ: -1; 3.

б) $\frac{4x + 1}{x - 3} = \frac{3x - 8}{x + 1}$
Найдем ОДЗ:
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$
Применим правило пропорции:
$(4x + 1)(x + 1) = (3x - 8)(x - 3)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$4x^2 + 4x + x + 1 = 3x^2 - 9x - 8x + 24$
$4x^2 + 5x + 1 = 3x^2 - 17x + 24$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$4x^2 - 3x^2 + 5x + 17x + 1 - 24 = 0$
$x^2 + 22x - 23 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -22$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -23$
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -23$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3, x \neq -1$).
Ответ: -23; 1.

в) $\frac{3}{x^2 + 2} = \frac{1}{x}$
Найдем ОДЗ:
$x^2 + 2 \neq 0$. Это выражение всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$, значит $x^2 + 2 \ge 2$.
$x \neq 0$
Применим правило пропорции:
$3 \cdot x = 1 \cdot (x^2 + 2)$
$3x = x^2 + 2$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Решим по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 3$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2$
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: 1; 2.

г) $\frac{2x - 1}{x + 7} = \frac{3x + 4}{x - 1}$
Найдем ОДЗ:
$x + 7 \neq 0 \implies x \neq -7$
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
Применим правило пропорции:
$(2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7)$
Раскроем скобки:
$2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28$
$2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28$
Перенесем все слагаемые в правую часть:
$0 = 3x^2 - 2x^2 + 25x + 3x + 28 - 1$
$x^2 + 28x + 27 = 0$
Решим по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -28$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 27$
Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -27$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -7, x \neq 1$).
Ответ: -27; -1.