Страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

29.8 a) $\frac{x+1}{x+5} - \frac{x-2}{x-5} = 1;$

б) $\frac{3x-9}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 3;$

в) $\frac{3x+3}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1;$

г) $\frac{2x-2}{x+3} + \frac{x+3}{x-3} = 5.$

a) $\frac{x+1}{x+5} - \frac{x-2}{x-5} = 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю, поэтому $x+5 \neq 0$ и $x-5 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq -5$ и $x \neq 5$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+5)(x-5)$: $\frac{(x+1)(x-5)}{(x+5)(x-5)} - \frac{(x-2)(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+5)(x-5) = x^2 - 25$, чтобы избавиться от дробей:

$(x+1)(x-5) - (x-2)(x+5) = x^2 - 25$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 5x + x - 5) - (x^2 + 5x - 2x - 10) = x^2 - 25$

$(x^2 - 4x - 5) - (x^2 + 3x - 10) = x^2 - 25$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 4x - 5 - x^2 - 3x + 10 = x^2 - 25$

$-7x + 5 = x^2 - 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 7x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-30$, а их сумма равна $-7$. Этим условиям удовлетворяют числа $-10$ и $3$. $x_1 = -10$, $x_2 = 3$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ. Оба корня ($-10$ и $3$) не равны $-5$ и $5$, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $-10; 3$.

б) $\frac{3x-9}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 3$

ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Общий знаменатель: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$. Умножим обе части уравнения на него:

$(3x-9)(x+1) + (x+6)(x-1) = 3(x-1)(x+1)$

Раскроем скобки:

$(3x^2 + 3x - 9x - 9) + (x^2 - x + 6x - 6) = 3(x^2 - 1)$

$(3x^2 - 6x - 9) + (x^2 + 5x - 6) = 3x^2 - 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x^2 - x - 15 = 3x^2 - 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - 3x^2 - x - 15 + 3 = 0$

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: произведение корней равно $-12$, сумма равна $1$. Корни: $4$ и $-3$. $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Ответ: $-3; 4$.

в) $\frac{3x+3}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Общий знаменатель: $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$. Умножим обе части уравнения на него:

$(3x+3)(x-2) - (x-1)(x+2) = 1(x^2 - 4)$

Раскроем скобки:

$(3x^2 - 6x + 3x - 6) - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4$

$(3x^2 - 3x - 6) - (x^2 + x - 2) = x^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 - 3x - 6 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$

$2x^2 - 4x - 4 = x^2 - 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 4x - 4 + 4 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$.

Оба корня ($0$ и $4$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 2$).

Ответ: $0; 4$.

г) $\frac{2x-2}{x+3} + \frac{x+3}{x-3} = 5$

ОДЗ: $x+3 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

Общий знаменатель: $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$. Умножим обе части уравнения на него:

$(2x-2)(x-3) + (x+3)(x+3) = 5(x^2 - 9)$

Раскроем скобки:

$(2x^2 - 6x - 2x + 6) + (x^2 + 6x + 9) = 5x^2 - 45$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x^2 - 8x + 6 + x^2 + 6x + 9 = 5x^2 - 45$

$3x^2 - 2x + 15 = 5x^2 - 45$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$5x^2 - 3x^2 + 2x - 45 - 15 = 0$

$2x^2 + 2x - 60 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: произведение корней равно $-30$, сумма равна $-1$. Корни: $5$ и $-6$. $x_1 = 5$, $x_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$ и $x \neq 3$).

Ответ: $-6; 5$.

29.9 a) $ \frac{36}{x(x - 12)} - \frac{3}{x - 12} = 3; $

б) $ \frac{3x}{x - 1} - \frac{4}{x} = \frac{3}{x^2 - x}; $

в) $ \frac{45}{x(x + 15)} + \frac{3}{x + 15} = 1; $

г) $ \frac{5x}{x + 2} - \frac{20}{x^2 + 2x} = \frac{4}{x}. $

а) $\frac{36}{x(x-12)} - \frac{3}{x-12} = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x(x-12) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 12$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-12)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$\frac{36}{x(x-12)} \cdot x(x-12) - \frac{3}{x-12} \cdot x(x-12) = 3 \cdot x(x-12)$

$36 - 3x = 3x(x-12)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение:

$36 - 3x = 3x^2 - 36x$

$3x^2 - 36x + 3x - 36 = 0$

$3x^2 - 33x - 36 = 0$

Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 - 11x - 12 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 11$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -12$. Подбором находим корни: $x_1 = 12$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 12$). Корень $x_1 = 12$ является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1

б) $\frac{3x}{x-1} - \frac{4}{x} = \frac{3}{x^2-x}$

Разложим знаменатель в правой части на множители: $x^2 - x = x(x-1)$. Уравнение примет вид:

$\frac{3x}{x-1} - \frac{4}{x} = \frac{3}{x(x-1)}$

ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq 0$.

Общий знаменатель дробей — $x(x-1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$3x \cdot x - 4(x-1) = 3$

$3x^2 - 4x + 4 = 3$

$3x^2 - 4x + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4+2}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq 0$). Корень $x_1 = 1$ является посторонним. Корень $x_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) $\frac{45}{x(x+15)} + \frac{3}{x+15} = 1$

ОДЗ: $x(x+15) \neq 0$, следовательно $x \neq 0$ и $x+15 \neq 0$, то есть $x \neq -15$.

Общий знаменатель — $x(x+15)$. Умножим обе части уравнения на него:

$45 + 3x = 1 \cdot x(x+15)$

$45 + 3x = x^2 + 15x$

$x^2 + 15x - 3x - 45 = 0$

$x^2 + 12x - 45 = 0$

По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -12$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -45$. Корни уравнения: $x_1 = -15$ и $x_2 = 3$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -15$). Корень $x_1 = -15$ является посторонним. Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 3

г) $\frac{5x}{x+2} - \frac{20}{x^2+2x} = \frac{4}{x}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $x^2+2x = x(x+2)$.

$\frac{5x}{x+2} - \frac{20}{x(x+2)} = \frac{4}{x}$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq -2$ и $x \neq 0$.

Общий знаменатель — $x(x+2)$. Умножим все члены уравнения на него:

$5x \cdot x - 20 = 4(x+2)$

$5x^2 - 20 = 4x + 8$

$5x^2 - 4x - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-28) = 16 + 560 = 576 = 24^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{28}{10} = 2.8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 0$). Корень $x_2 = -2$ является посторонним. Корень $x_1 = 2.8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.8

29.10 а) $\frac{2x - 7}{x - 4} - \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{x + 6}{(x - 4)(x + 1)};$

б) $\frac{6}{(5 - x)(x + 1)} + \frac{x}{x + 1} = \frac{3}{x - 5};$

в) $\frac{x - 1}{x + 3} + \frac{28}{(x + 3)(x - 4)} = \frac{3x}{x - 4};$

г) $\frac{2x}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 3} = \frac{10}{(3 - x)(x + 2)}.$

а)

Дано уравнение: $ \frac{2x-7}{x-4} - \frac{x+2}{x+1} = \frac{x+6}{(x-4)(x+1)} $.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$ x-4 \neq 0 \implies x \neq 4 $

$ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 4 $ и $ x \neq -1 $.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $ (x-4)(x+1) $ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$ (2x-7)(x+1) - (x+2)(x-4) = x+6 $

3. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$ (2x^2 + 2x - 7x - 7) - (x^2 - 4x + 2x - 8) = x+6 $

$ (2x^2 - 5x - 7) - (x^2 - 2x - 8) = x+6 $

4. Упростим выражение:

$ 2x^2 - 5x - 7 - x^2 + 2x + 8 = x+6 $

$ x^2 - 3x + 1 = x+6 $

5. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - 3x - x + 1 - 6 = 0 $

$ x^2 - 4x - 5 = 0 $

6. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней $ x_1 + x_2 = 4 $.

Произведение корней $ x_1 \cdot x_2 = -5 $.

Отсюда находим корни: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -1 $.

7. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($ x \neq 4, x \neq -1 $).

Корень $ x_1 = 5 $ удовлетворяет условиям ОДЗ.

Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $ x=-1 $ один из знаменателей исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, $ x=-1 $ является посторонним корнем.

Ответ: 5.

б)

Дано уравнение: $ \frac{6}{(5-x)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5} $.

1. Заметим, что $ 5-x = -(x-5) $. Перепишем уравнение:

$ \frac{6}{-(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5} $

$ -\frac{6}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5} $

2. ОДЗ: $ x-5 \neq 0 \implies x \neq 5 $ и $ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $.

3. Общий знаменатель $ (x-5)(x+1) $. Умножим обе части на него:

$ -6 + x(x-5) = 3(x+1) $

4. Раскроем скобки и упростим:

$ -6 + x^2 - 5x = 3x + 3 $

5. Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$ x^2 - 5x - 3x - 6 - 3 = 0 $

$ x^2 - 8x - 9 = 0 $

6. Решим уравнение по теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 8 $

$ x_1 \cdot x_2 = -9 $

Корни: $ x_1 = 9 $ и $ x_2 = -1 $.

7. Проверим корни по ОДЗ ($ x \neq 5, x \neq -1 $).

Корень $ x_1 = 9 $ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Ответ: 9.

в)

Дано уравнение: $ \frac{x-1}{x+3} + \frac{28}{(x+3)(x-4)} = \frac{3x}{x-4} $.

1. ОДЗ: $ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 $ и $ x-4 \neq 0 \implies x \neq 4 $.

2. Общий знаменатель $ (x+3)(x-4) $. Умножим обе части на него:

$ (x-1)(x-4) + 28 = 3x(x+3) $

3. Раскроем скобки:

$ (x^2 - 4x - x + 4) + 28 = 3x^2 + 9x $

$ x^2 - 5x + 32 = 3x^2 + 9x $

4. Перенесем все в одну сторону:

$ 3x^2 - x^2 + 9x + 5x - 32 = 0 $

$ 2x^2 + 14x - 32 = 0 $

Разделим уравнение на 2:

$ x^2 + 7x - 16 = 0 $

5. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 49 + 64 = 113 $

Поскольку $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня:

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{113}}{2} $

$ x_1 = \frac{-7 - \sqrt{113}}{2} $, $ x_2 = \frac{-7 + \sqrt{113}}{2} $.

6. Оба корня не равны -3 или 4, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ \frac{-7 \pm \sqrt{113}}{2} $.

г)

Дано уравнение: $ \frac{2x}{x+2} - \frac{x-1}{x-3} = \frac{10}{(3-x)(x+2)} $.

1. Заметим, что $ 3-x = -(x-3) $. Перепишем уравнение:

$ \frac{2x}{x+2} - \frac{x-1}{x-3} = \frac{10}{-(x-3)(x+2)} $

$ \frac{2x}{x+2} - \frac{x-1}{x-3} = -\frac{10}{(x-3)(x+2)} $

2. ОДЗ: $ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $ и $ x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 $.

3. Общий знаменатель $ (x+2)(x-3) $. Умножим обе части на него:

$ 2x(x-3) - (x-1)(x+2) = -10 $

4. Раскроем скобки:

$ (2x^2 - 6x) - (x^2 + 2x - x - 2) = -10 $

$ 2x^2 - 6x - (x^2 + x - 2) = -10 $

$ 2x^2 - 6x - x^2 - x + 2 = -10 $

5. Упростим и приведем к стандартному виду:

$ x^2 - 7x + 2 + 10 = 0 $

$ x^2 - 7x + 12 = 0 $

6. Решим уравнение по теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 7 $

$ x_1 \cdot x_2 = 12 $

Корни: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = 4 $.

7. Проверим корни по ОДЗ ($ x \neq -2, x \neq 3 $).

Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Корень $ x_2 = 4 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

29.11 а) $\frac{3x}{x-1} + \frac{4}{x+1} = \frac{6}{x^2-1};$

б) $\frac{x}{x-5} - \frac{6}{x+5} = \frac{3x+35}{x^2-25};$

в) $\frac{2x}{x+3} + \frac{30}{x^2-9} = \frac{5}{x-3};$

г) $\frac{2}{x-4} + \frac{x}{x+4} = \frac{20-3x}{x^2-16}.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{3x}{x-1} + \frac{4}{x+1} = \frac{6}{x^2-1} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ x-1 \neq 0 $ и $ x+1 \neq 0 $. Отсюда следует, что $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

Знаменатель в правой части уравнения можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $ x^2-1 = (x-1)(x+1) $. Таким образом, общий знаменатель для всех дробей в уравнении — это $ (x-1)(x+1) $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-1)(x+1) $, чтобы избавиться от дробей:

$ \frac{3x \cdot (x-1)(x+1)}{x-1} + \frac{4 \cdot (x-1)(x+1)}{x+1} = \frac{6 \cdot (x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} $

После сокращения дробей получаем целое уравнение:

$ 3x(x+1) + 4(x-1) = 6 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 3x^2 + 3x + 4x - 4 = 6 $

$ 3x^2 + 7x - 4 - 6 = 0 $

$ 3x^2 + 7x - 10 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $). Корень $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним. Корень $ x_2 = -\frac{10}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{10}{3} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-5} - \frac{6}{x+5} = \frac{3x+35}{x^2-25} $.

ОДЗ: $ x-5 \neq 0 \implies x \neq 5 $ и $ x+5 \neq 0 \implies x \neq -5 $.

Общий знаменатель $ x^2-25 = (x-5)(x+5) $. Умножим обе части уравнения на $ (x-5)(x+5) $:

$ x(x+5) - 6(x-5) = 3x+35 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ x^2 + 5x - 6x + 30 = 3x+35 $

$ x^2 - x + 30 = 3x+35 $

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - x - 3x + 30 - 35 = 0 $

$ x^2 - 4x - 5 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2 $

$ x_1 = \frac{-(-4) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 $

$ x_2 = \frac{-(-4) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 $

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 5 $ и $ x \neq -5 $). Корень $ x_1 = 5 $ не входит в ОДЗ, значит, он является посторонним. Корень $ x_2 = -1 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -1 $.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{2x}{x+3} + \frac{30}{x^2-9} = \frac{5}{x-3} $.

ОДЗ: $ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 $ и $ x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 $.

Приведем все дроби к общему знаменателю $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $. Для этого перенесем все члены в одну сторону:

$ \frac{2x}{x+3} + \frac{30}{(x-3)(x+3)} - \frac{5}{x-3} = 0 $

$ \frac{2x(x-3) + 30 - 5(x+3)}{(x-3)(x+3)} = 0 $

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решаем уравнение для числителя, учитывая ОДЗ:

$ 2x(x-3) + 30 - 5(x+3) = 0 $

$ 2x^2 - 6x + 30 - 5x - 15 = 0 $

$ 2x^2 - 11x + 15 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 121 - 120 = 1 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 $

$ x_2 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5 $

Проверим корни. Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 3 $), следовательно, он посторонний. Корень $ x_2 = 2.5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 2.5 $.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{x-4} + \frac{x}{x+4} = \frac{20-3x}{x^2-16} $.

ОДЗ: $ x-4 \neq 0 \implies x \neq 4 $ и $ x+4 \neq 0 \implies x \neq -4 $.

Общий знаменатель $ x^2-16 = (x-4)(x+4) $. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$ 2(x+4) + x(x-4) = 20-3x $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 2x + 8 + x^2 - 4x = 20-3x $

$ x^2 - 2x + 8 = 20-3x $

Перенесем все члены в левую часть:

$ x^2 - 2x + 3x + 8 - 20 = 0 $

$ x^2 + x - 12 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна -1, а их произведение равно -12. Отсюда корни $ x_1 = 3, x_2 = -4 $. Либо найдем их через дискриминант:

$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $

$ x_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 $

$ x_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4 $

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 4 $ и $ x \neq -4 $). Корень $ x_1 = 3 $ удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_2 = -4 $ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Ответ: $ 3 $.

29.12 a) При каких значениях a значения дробей $\frac{a - 3}{a + 2}$ и $\frac{3a - 7}{a + 5}$ равны?

б) При каких значениях a сумма дробей $\frac{3a + 9}{3a - 1}$ и $\frac{2a - 13}{2a + 5}$ равна 2?

а) Чтобы найти значения a, при которых дроби равны, необходимо приравнять их и решить полученное уравнение:

$\frac{a-3}{a+2} = \frac{3a-7}{a+5}$

Дроби определены, если их знаменатели не равны нулю. Это называется областью допустимых значений (ОДЗ).
$a+2 \neq 0 \implies a \neq -2$
$a+5 \neq 0 \implies a \neq -5$

Для решения уравнения используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$(a-3)(a+5) = (3a-7)(a+2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$a^2 + 5a - 3a - 15 = 3a^2 + 6a - 7a - 14$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2a - 15 = 3a^2 - a - 14$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$:

$0 = (3a^2 - a^2) + (-a - 2a) + (-14 + 15)$

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Оба найденных значения, $a=1$ и $a=0.5$, входят в область допустимых значений ($a \neq -2$ и $a \neq -5$).

Ответ: $a=1$; $a=0.5$.

б) Чтобы найти значения a, при которых сумма дробей равна 2, составим и решим уравнение:

$\frac{3a+9}{3a-1} + \frac{2a-13}{2a+5} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$3a-1 \neq 0 \implies 3a \neq 1 \implies a \neq \frac{1}{3}$
$2a+5 \neq 0 \implies 2a \neq -5 \implies a \neq -2.5$

Для упрощения решения преобразуем каждую дробь, выделив в ней целую часть:

$\frac{3a+9}{3a-1} = \frac{(3a-1)+10}{3a-1} = \frac{3a-1}{3a-1} + \frac{10}{3a-1} = 1 + \frac{10}{3a-1}$

$\frac{2a-13}{2a+5} = \frac{(2a+5)-18}{2a+5} = \frac{2a+5}{2a+5} - \frac{18}{2a+5} = 1 - \frac{18}{2a+5}$

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в исходное уравнение:

$(1 + \frac{10}{3a-1}) + (1 - \frac{18}{2a+5}) = 2$

$2 + \frac{10}{3a-1} - \frac{18}{2a+5} = 2$

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$\frac{10}{3a-1} - \frac{18}{2a+5} = 0$

Перенесем вторую дробь в правую часть:

$\frac{10}{3a-1} = \frac{18}{2a+5}$

Используем свойство пропорции:

$10(2a+5) = 18(3a-1)$

Раскроем скобки:

$20a + 50 = 54a - 18$

Соберем слагаемые с a в одной части, а свободные члены — в другой:

$50 + 18 = 54a - 20a$

$68 = 34a$

$a = \frac{68}{34}$

$a = 2$

Полученное значение $a=2$ удовлетворяет ОДЗ ($a \neq \frac{1}{3}$ и $a \neq -2.5$).

Ответ: $a=2$.

29.13 а) Существуют ли такие значения переменной, при которых сумма дробей $ \frac{x + 7}{x - 2} $ и $ \frac{x - 1}{x + 2} $ равна 1?

б) При каких значениях переменной разность дробей $ \frac{1 - 3x}{4x - 3} $ и $ \frac{x + 5}{x + 2} $ равна их произведению?

а) Чтобы выяснить, существуют ли такие значения переменной, составим и решим уравнение, приравняв сумму дробей к 1:

$\frac{x+7}{x-2} + \frac{x-1}{x+2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условиями, что знаменатели дробей не равны нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{(x+7)(x+2) + (x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$, учитывая ОДЗ:

$(x+7)(x+2) + (x-1)(x-2) = x^2 - 4$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(x^2 + 2x + 7x + 14) + (x^2 - 2x - x + 2) = x^2 - 4$

$(x^2 + 9x + 14) + (x^2 - 3x + 2) = x^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 6x + 16 = x^2 - 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2x^2 - x^2 + 6x + 16 + 4 = 0$

$x^2 + 6x + 20 = 0$

Для решения полученного квадратного уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 36 - 80 = -44$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует таких значений переменной $x$, при которых сумма данных дробей равна 1.

Ответ: нет, таких значений не существует.

б) Чтобы найти значения переменной, при которых разность дробей равна их произведению, составим и решим уравнение:

$\frac{1-3x}{4x-3} - \frac{x+5}{x+2} = \frac{1-3x}{4x-3} \cdot \frac{x+5}{x+2}$

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$:

$4x - 3 \neq 0 \implies 4x \neq 3 \implies x \neq \frac{3}{4}$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(4x-3)(x+2)$, учитывая ОДЗ:

$(1-3x)(x+2) - (x+5)(4x-3) = (1-3x)(x+5)$

Раскроем скобки:

$(x + 2 - 3x^2 - 6x) - (4x^2 - 3x + 20x - 15) = (x + 5 - 3x^2 - 15x)$

$(-3x^2 - 5x + 2) - (4x^2 + 17x - 15) = -3x^2 - 14x + 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3x^2 - 5x + 2 - 4x^2 - 17x + 15 = -3x^2 - 14x + 5$

$-7x^2 - 22x + 17 = -3x^2 - 14x + 5$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = -3x^2 - 14x + 5 - (-7x^2 - 22x + 17)$

$0 = -3x^2 - 14x + 5 + 7x^2 + 22x - 17$

$0 = 4x^2 + 8x - 12$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -3. Подбором находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -3$

Оба найденных корня ($1$ и $-3$) принадлежат области допустимых значений, так как $1 \neq \frac{3}{4}$, $1 \neq -2$, и $-3 \neq \frac{3}{4}$, $-3 \neq -2$.

Ответ: $x = 1$, $x = -3$.

Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:

29.14 a) $x^4 - 17x^2 + 16 = 0;$

б) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0;$

в) $x^4 - 10x^2 + 25 = 0;$

г) $x^4 + 5x^2 - 36 = 0.$

а) $x^4 - 17x^2 + 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение, учитывая, что $x^4 = (x^2)^2 = t^2$:

$t^2 - 17t + 16 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 17$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 16$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 16$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$, поэтому оба являются решениями для $t$.

Теперь выполним обратную замену:

1) При $t = 1$, получаем $x^2 = 1$. Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2) При $t = 16$, получаем $x^2 = 16$. Корни этого уравнения: $x_3 = 4$ и $x_4 = -4$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-4; -1; 1; 4$.

б) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 3t - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 0$), поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t=2$:

$x^2 = 2$

Отсюда $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

в) $x^4 - 10x^2 + 25 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Уравнение примет вид:

$t^2 - 10t + 25 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом разности:

$(t - 5)^2 = 0$

Отсюда $t - 5 = 0$, следовательно, $t = 5$.

Корень $t=5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 5$

Корни этого уравнения: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$.

г) $x^4 + 5x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 5t - 36 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 4$ подходит.

Корень $t_2 = -9$ не подходит, так как он отрицательный.

Выполним обратную замену для $t = 4$:

$x^2 = 4$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.